Ngân hàng câu hỏi xIMC 2006

Colleen muốn tính $(a+b)/c$, với $a,b,c$ nguyên dương. Bấm $a,+,b,/,c,=$ được mười một, còn $b,+,a,/,c,=$ được mười bốn. Bạn nhận ra máy thực hiện chia trước cộng. Bấm đúng dấu ngoặc sẽ được kết quả cần tìm. Kết quả đó là bao nhiêu?

Đoạn $AB$ dài năm cm. Trong mặt phẳng chứa nó, có bao nhiêu đường thẳng cách $A$ hai cm và cách $B$ ba cm?

Trong tam giác $ABC$, $D$ nằm trên phần kéo dài $BC$, $F$ trên phần kéo dài $AB$. Phân giác $\angle ACD$ cắt phần kéo dài $BA$ tại $E$; phân giác $\angle FBC$ cắt phần kéo dài $AC$ tại $G$ như hình. Nếu $CE=BC=BG$, tìm số đo $\angle ABC$ theo độ.

Thầy cho $a+b-ab=1$ và nói $a$ không nguyên. Alex cho rằng $b$ cũng không nguyên; Brian cho rằng $b$ phải là số nguyên dương; Colin cho rằng $b$ phải là số nguyên âm. Ai đúng?

$ABCD$ là hình bình hành, $P$ nằm trong tam giác $BAD$. Nếu diện tích các tam giác $PAB,PCB$ lần lượt bằng hai và năm cm vuông, tìm diện tích tam giác $PBD$ theo cm vuông.

Cho $x/a=y/b=z/c$, với $a,b,c,x,y,z$ khác không. Tính $$\frac{xyz(b+c)(c+a)(a+b)}{abc(y+z)(z+x)(x+y)}.$$

Ô tô đi với tốc độ $63$ km/h trên đường bằng, $56$ km/h khi lên dốc và $72$ km/h khi xuống dốc. Đi từ $A$ đến $B$ mất bốn giờ, quay về mất bốn giờ bốn mươi phút. Khoảng cách $AB$ bằng bao nhiêu km?

Hình vuông $ABCD$ có cạnh hai cm. $E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,AD$, và $G\in CF$ thỏa mãn $3CG=2GF$. Tìm diện tích tam giác $BEG$ theo cm vuông.

Cho $x,y$ thực thỏa mãn $(2x+1)^2+y^2+(y-2x)^2=1/3$. Tính $x+y$.

Quản đốc xé một tờ thành năm mảnh, đưa cho nhân viên một. Nhân viên $n$ lấy $n$ mảnh nhận được, xé mỗi mảnh thành năm, rồi chuyển mọi mảnh cho nhân viên $n+1$. Tìm $n$ sao cho nhân viên $n$ nhận dưới $2006$ mảnh nhưng chuyển đi ít nhất $2006$ mảnh.

Đa diện lồi $P$ có ba mươi sáu cạnh. Tại mỗi đỉnh, một mặt phẳng cắt bỏ một hình chóp, các mặt phẳng cắt không giao nhau bên trong $P$. Tìm số cạnh của đa diện lồi còn lại $Q$.

Nếu $\sqrt{m-174}+\sqrt{m+34}=n$, với $m,n$ nguyên dương, tìm giá trị lớn nhất của $n$.

Mỗi trong bốn thang máy dừng ở ba tầng, không nhất thiết liên tiếp hay có tầng chính. Mỗi cặp tầng đều có ít nhất một thang máy dừng ở cả hai tầng. Số tầng lớn nhất là bao nhiêu?

Bốn hình chữ nhật hai cm nhân bốn cm được cố định như hình. Tìm bán kính theo cm của đường tròn nhỏ nhất phủ kín tất cả.

Chia các số nguyên từ một đến ba mươi thành $k$ nhóm rời nhau, sao cho tổng hai phần tử khác nhau trong một nhóm không bao giờ là số chính phương. Tìm $k$ nhỏ nhất.

Thầy muốn đường tròn lớn nhất có thể nằm trong tam giác cạnh $2,2,2x$, với $x\gt 0$ thực. Alex đề xuất $x=1$; Brian đề xuất $x=\sqrt2$; Colin nói cả hai đều sai. Ai đúng?

Một tam giác có thể cắt thành hai tam giác cân. Một góc ban đầu bằng $36^\circ$. Tìm mọi số đo có thể theo độ của góc lớn nhất tam giác ban đầu.

Năm tetromino, mỗi mảnh gồm bốn ô vuông đơn vị nối theo cạnh. Ghép mảnh hình L với lần lượt từng mảnh trong bốn mảnh khác đã vẽ, để được một hình có trục đối xứng.

Mười lăm quân domino ghi $11,12,13,14,15,22,23,24,25,33,34,35,44,45,55$ ghép kín hình chữ nhật $5\times6$ đã vẽ. Mỗi quân gồm hai ô có số, chung một cạnh. Biên riêng các quân đã bị xóa. Hãy dựng lại các biên.

Số may mắn là số nguyên dương bằng mười chín lần tổng các chữ số thập phân của nó. Tìm mọi số may mắn.