Ngân hàng câu hỏi xIMC 2019

Trong hình dưới đây, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ và $g$ là các hình vuông bằng nhau. Tỉ số giữa diện tích phần tô màu và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, hai đường tròn bằng nhau có tâm $A$ và $B$ cắt nhau, sao cho tâm của mỗi đường tròn nằm trên đường tròn kia. Tỉ số giữa độ dài cung $CBD$ và chu vi của một đường tròn là bao nhiêu?

Mỗi học sinh trong ba học sinh $A$, $B$ và $C$ có một máy tính và bắt đầu thực hiện các phép tính cùng lúc. Học sinh $A$ bắt đầu từ $1509$ và cộng $3$ ở mỗi bước, học sinh $B$ bắt đầu từ $2019$ và trừ $7$ ở mỗi bước, còn học sinh $C$ bắt đầu từ số $X$ và cộng $1$ ở bước thứ nhất, cộng $2$ ở bước thứ hai, cộng $3$ ở bước thứ ba, rồi tiếp tục như vậy. Nếu sau $N$ bước cả ba học sinh thu được cùng một kết quả, hãy tìm số $X$.

Chính quyền thành phố khảo sát tất cả học sinh lớp $5$ và lớp $6$ để tìm hiểu mức độ yêu thích đi xe trượt scooter và trượt ván. Trong số học sinh lớp $5$, có $9\%$ trả lời rằng các em thích đi xe trượt scooter và $14\%$ trả lời rằng các em thích trượt ván. Trong số học sinh lớp $6$, có $11\%$ trả lời rằng các em thích đi xe trượt scooter và $7\%$ trả lời rằng các em thích trượt ván. Khi gộp học sinh lớp $5$ và lớp $6$, số học sinh thích đi xe trượt scooter bằng số học sinh thích trượt ván. Biết tổng số học sinh lớp $5$ và lớp $6$ trong thành phố là $59400$ và không có học sinh nào thích cả đi xe trượt scooter lẫn trượt ván, hãy xác định số học sinh lớp $6$ trong thành phố.

Trung bình cộng của ba số nguyên dương là $2019$. Nếu thay một trong các số đó bằng $3$, thì trung bình cộng của $3$ số nguyên dương này trở thành $673$. Số ban đầu được thay bằng $3$ là bao nhiêu?

Hình dưới đây là hình vuông $ABCD$, trong đó điểm $P$ thuộc $BC$ và $AP=4$ cm. Gọi $BB_1$, $CC_1$ và $DD_1$ lần lượt là các đường vuông góc từ các điểm $B$, $C$ và $D$ đến đường thẳng $AP$. Nếu $BB_1+CC_1+DD_1=6$ cm, hãy tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $APD$.

Chín giỏ có số trứng lần lượt là $4$, $5$, $7$, $8$, $12$, $13$, $14$, $23$ và $24$. Ai muốn mua trứng phải mua hết số trứng trong một giỏ. Kitty và Philip mỗi người mua bốn giỏ. Nếu số trứng Kitty mua gấp ba lần số trứng Philip mua, thì giỏ còn lại có bao nhiêu quả trứng?

Chia các số từ $1$ đến $9$ thành ba nhóm, mỗi nhóm có ba số, rồi tính tích ba số trong mỗi nhóm sao cho tích lớn nhất nhỏ nhất có thể. Tích lớn nhất đó là bao nhiêu?

Nếu $A$ có nhiều hơn một ước nguyên tố, thì $A$ phải có bao nhiêu ước dương khác nhau để $A^2$ có $2019$ ước dương khác nhau?

Cho $ABCD$ là hình bình hành và điểm $E$ là trung điểm của $AB$, như hình dưới đây. Nếu diện tích tam giác $CDF$ là $2692\ \mathrm{cm}^2$, hãy tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $BCE$.

Độ dài các cạnh của một tam giác, tính bằng cm, là các số nguyên dương liên tiếp. Một đường trung tuyến của tam giác vuông góc với một đường phân giác của nó. Chu vi của tam giác, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Xét tất cả các từ nhận được bằng cách hoán vị các chữ cái $\{D,U,R,B,A,N\}$. Viết tất cả các từ này thành một dãy theo thứ tự bảng chữ cái, bắt đầu từ $\mathrm{ABDNRU}$ và kết thúc bằng $\mathrm{URNDBA}$. Từ $\mathrm{DURBAN}$ ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy này?

John viết lên bảng tất cả các số nguyên từ $1$ đến $2019$, kể cả hai đầu mút. Bạn ấy đã dùng bao nhiêu chữ số chẵn?

Hình dưới đây minh họa một bức tường gạch có $7$ hàng và $2$ lỗ (tô màu đen). Ta muốn chọn một viên gạch ở mỗi hàng sao cho hai viên được chọn ở bất kì hai hàng kề nhau nào cũng nối với nhau (hai viên gạch nối với nhau nếu chúng có chung ít nhất một phần cạnh). Có bao nhiêu cách khác nhau để chọn $7$ viên gạch?

Trong phép tính dưới đây, mỗi chữ cái $S$, $A$, $I$, $M$, $C$, $T$ và $H$ biểu thị một chữ số khác nhau.

$$\overline{SAIMC}+\overline{SAIMC}=\overline{MATHS},$$

trong đó $\overline{SAIMC}$ và $\overline{MATHS}$ là các số có năm chữ số. Hãy tìm tổng tất cả các giá trị khác nhau có thể có của $T$.

Trong hình dưới đây, hệ cân ở trạng thái cân bằng và khối lượng của mỗi vật là một số nguyên lớn hơn không gam. Nếu tổng khối lượng các vật là số nguyên lớn nhất có thể không vượt quá $2019$ gam, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $X$, tính bằng gam.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông và các điểm $E$, $G$, $F$ lần lượt là trung điểm của $CD$, $CE$, $BC$. Tỉ số giữa tổng diện tích các miền tô màu và diện tích $ABCD$ là bao nhiêu?

Có chín thẻ được xếp theo thứ tự $7,8,9,4,5,6,1,2,3$ như hình dưới đây. Ở mỗi lượt, ta có thể lấy ra một số thẻ liên tiếp, đảo ngược thứ tự của chúng rồi đặt chúng trở lại bất kì chỗ nào trong hàng. Sau ba lượt, các thẻ có thứ tự $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Ba lượt đó là những lượt nào? Hãy trình bày các bước.



Mẫu trả lời gốc:

Peter và Jack đến một cửa hàng mua bút. Cửa hàng bán các gói bút, mỗi gói có đúng $1,2,4,8,16,\ldots$ chiếc bút. Ví dụ, nếu Peter muốn mua $14$ chiếc bút thì bạn ấy cần mua các gói có $8$, $4$ và $2$ chiếc. Biết Peter mua $n$ chiếc bút và Jack mua $n+1$ chiếc, trong đó $n\le2019$. Nếu mỗi bạn mua số gói ít nhất có thể và Peter có nhiều hơn Jack $4$ gói, hãy tìm số giá trị khác nhau của $n$.

Mười hai bạn nhỏ $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L$ ngồi ở hai phía của một chiếc bàn dài, tạo thành sáu cặp đối diện. Có sáu bạn nam và sáu bạn nữ. Người tổ chức buổi tiệc đặt ra hai quy tắc. Thứ nhất, mỗi bạn nam phải có một bạn nữ ngồi đối diện. Thứ hai, nếu một bạn nữ không ngồi ở ghế tại đầu nào của bàn thì ở mỗi bên cạnh bạn ấy phải có một bạn nam. Tuy nhiên, không phải mọi bạn đều tuân thủ các quy tắc. Trong hình dưới đây, những bạn tuân thủ quy tắc được biểu thị bằng hình tròn trắng, còn những bạn không tuân thủ được biểu thị bằng hình tròn đen. Vì không quy tắc nào áp dụng cho bạn nữ ngồi ở ghế tại một đầu bàn, bạn nữ như vậy có thể được biểu thị bằng hình tròn trắng hoặc đen. Hãy xác định giới tính của mỗi bạn, dùng “g” cho bạn nữ và “b” cho bạn nam.



Mẫu trả lời gốc:



Cách nhập đáp án: ghi mười hai chữ theo thứ tự $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L$.