Ngân hàng câu hỏi xIMC 1999

Khi chia số $122333444455555666666777777788888888999999999$ cho $9$, hãy tìm số dư.

Tìm tổng các góc $a$, $b$, $c$, $d$ trong hình dưới.

Trong các số $1^2,2^2,\ldots,1999^2$, có bao nhiêu số có chữ số hàng chục là số lẻ?

Một tòa nhà cao $60$ m có bóng dài $40$ m tại một thời điểm ban ngày. Một cột thẳng đứng dài $2$ m được dựng trên mái nhà. Tìm độ dài bóng của cột tại cùng thời điểm, tính bằng mét.

Tính $1999^2-1998^2+1997^2-1996^2+\cdots-2^2+1^2$.

Trong tất cả các số có bốn chữ số với chữ số hàng nghìn là $3$, có bao nhiêu số có đúng hai chữ số giống nhau?

Hình dưới là tam giác đều cạnh $1$ cm. Ba đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp xúc các cạnh tam giác. Tìm bán kính chung của các đường tròn, tính bằng xentimét.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tổng của $160$ và bình phương của $a$ bằng tổng của $5$ và bình phương của $b$. Tổng của $320$ và bình phương của $a$ bằng tổng của $5$ và bình phương của $c$. Tìm $a$.

Cho $x$ là số có hai chữ số. Gọi $f(x)$ là tổng của $x$ và các chữ số của nó, trừ đi tích các chữ số. Tìm $x$ để $f(x)$ lớn nhất.

Tam giác $ABC$ trong hình vuông tại $A$, có $AB=15$ cm, $AC=8$ cm. Các điểm $D,F$ nằm trên $AB$, còn $E,G$ nằm trên $AC$. Các đoạn $CD,DE,EF,FG$ chia tam giác $ABC$ thành năm tam giác có diện tích bằng nhau. Chỉ một trong bốn đoạn có độ dài nguyên theo xentimét. Độ dài đó là bao nhiêu?

Các đường lưới trong hình tạo thành bao nhiêu hình vuông?

Hai ủy ban A và B lần lượt có $13$ và $6$ thành viên. Mỗi thành viên được trả $6000$ đô la mỗi ngày trong $30$ ngày họp đầu tiên và $9000$ đô la mỗi ngày sau đó. Số ngày họp của B gấp đôi A; chi phí tham dự của hai ủy ban bằng nhau. Nếu tổng chi phí của cả hai lớn hơn $3000000$ đô la, tổng đó là bao nhiêu?

Hình dưới là khung dây hình lập phương cạnh $1$ cm. Một con kiến xuất phát từ một đỉnh, bò dọc các cạnh rồi quay lại đỉnh xuất phát, không đi lại bất kỳ đoạn nào. Độ dài lớn nhất của đường đi là bao nhiêu xentimét?

Trong hình, $BC\perp AC$. Điểm $D$ trên $BC$ thỏa $BC=4BD$, điểm $E$ trên $AC$ thỏa $AC=8CE$. Biết $AD=164$ cm và $BE=52$ cm, hãy tìm $AB$, tính bằng xentimét.

Một số có sáu chữ số khi nhân lần lượt với $2,3,4,5,6$ đều cho số có sáu chữ số với các chữ số giống số ban đầu nhưng theo thứ tự khác. Tìm số ban đầu.

(a) Phân tích $9^8+7^6+5^4+3^2+1$ thành thừa số nguyên tố.

(b) Tìm hai ước nguyên tố khác nhau của $2^{30}+3^{30}$.

Các lá bài mang số $1,3,\ldots,2n-1$. Ở bước thứ $k$, $1\le k\le n$, chuyển lần lượt $2k-1$ lá từ đỉnh xuống đáy bộ bài. Khi đó lá trên cùng cần mang số $2k-1$, và được lấy ra. Sau $n$ bước, các lá được lấy ra theo thứ tự tăng dần. Ban đầu cần xếp bộ bài thế nào nếu (a) $n=10$; (b) $n=30$?

(a) Biểu diễn $1$ thành tổng nghịch đảo của các số nguyên phân biệt, trong đó có số $5$.

(b) Biểu diễn $1$ thành tổng nghịch đảo của các số nguyên phân biệt, trong đó có số $1999$.

(a) Chỉ ra cách chia một hình vuông thành $1999$ hình vuông, có thể khác kích thước.

(b) Cắt hai hình đầu tiên dưới đây thành tổng cộng không quá mười mảnh, rồi ghép các mảnh thành hình thứ ba.

Điền các số $1,2,3,4,5$ vào bảng $5\times5$ sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo chính có đúng một số mỗi loại. Điểm của bảng là tổng các số trong bốn ô tô đậm. Điểm lớn nhất có thể là bao nhiêu?