Trong hình dưới đây, cả hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$ đều được chia thành $12$ đoạn bằng nhau. Nếu tổng diện tích tất cả các miền trắng bên trong hình chữ nhật $ABCD$ là $10$ cm² thì tổng diện tích các miền tô đậm bằng bao nhiêu cm²?
Mười người bạn ngồi quanh một chiếc bàn tròn. Theo chiều kim đồng hồ, từng người được hỏi: “Tổng số tuổi của hai người ngồi bên cạnh bạn là bao nhiêu?” Các câu trả lời (theo đúng thứ tự đó) là: $20,22,24,26,28,30,32,34,36$ và $38$. Người trả lời $26$ bao nhiêu tuổi?
Alvin và Bob luân phiên lấy bi từ một chiếc túi. Alvin bắt đầu lấy một viên bi, rồi Bob lấy hai viên, tiếp theo Alvin lấy ba viên, Bob lấy bốn viên, và cứ như vậy. Nếu đến lượt một người mà trong túi không còn đủ số bi cần lấy thì người đó lấy hết số bi còn lại. Cuối cùng, Alvin có $101$ viên bi. Ban đầu trong túi có bao nhiêu viên bi?
Trong một lớp toán, điểm của học sinh chỉ được tính từ các bài thi, và mọi bài thi đều có trọng số như nhau. Khi Eva đạt $98$ điểm ở một bài thi, điểm trung bình các bài thi của bạn ấy tính đến lúc đó tăng $1$ điểm. Tuy nhiên, khi Eva đạt $70$ điểm ở bài thi tiếp theo, điểm trung bình giảm $2$ điểm. Tính cả hai bài thi này, Eva đã thi bao nhiêu bài?
Tổng của ba số có bốn chữ số lớn nhất dạng $\overline{VIMC}$ là bao nhiêu, biết rằng các chữ số $V,I,M$ và $C$ đôi một khác nhau, $V$ là số chẵn, và $\overline{VI},\overline{IM}$ cùng $\overline{MC}$ đều là các số nguyên tố có hai chữ số?
Năm hình vuông được vẽ cạnh nhau như trong hình dưới đây. Nếu diện tích mỗi hình vuông nhỏ nhất là $30$ cm² thì diện tích tam giác tô đậm bằng bao nhiêu cm²?
Ngoài ra, ta còn biết:
- Số bi nhiều nhất mà một học sinh có là $15$.
- Những học sinh có từ $3$ viên bi trở lên có trung bình $6$ viên bi.
- Những học sinh có không quá $12$ viên bi có trung bình $5$ viên bi.
Trong hình dưới đây, $ABC$ là tam giác vuông có $\angle A=90^\circ$, $AB=15$ cm và $AC=36$ cm. Gọi $D$ và $E$ là các điểm trên $BC$ sao cho $BD=DE=EC$. Giá trị của $AD^2+AE^2$, tính bằng cm², là bao nhiêu?
Năm trẻ em là Alice, Bob, Carter, David, Emily và ba người lớn là Frank, Gary, Henry được xếp ngồi thành một hàng có tám ghế sao cho:
- Không có hai người lớn ngồi ở hai ghế cạnh nhau;
- Bob ngồi bên trái Alice và bên phải Carter;
- David ngồi bên phải Emily.
Có bao nhiêu cách khác nhau để chia hình dưới đây theo các đường kẻ ô thành hai phần liền khối bằng nhau (mỗi phần có bảy ô vuông đơn vị nối với nhau qua cạnh)? (Lưu ý: Hai phần được coi là bằng nhau nếu có thể biến phần này thành phần kia bằng một số hữu hạn phép đối xứng và/hoặc phép quay.)
Một số có 7 chữ số $\overline{abcdefg}$ được gọi là có dạng chữ V nếu thỏa mãn các tính chất sau:
- Không có hai chữ số nào trong $a,b,c,d,e,f$ và $g$ có cùng giá trị;
- $a>b>c>d$;
- $d<e<f<g$.
Một số có ba chữ số $\overline{abc}$ được gọi là đặc biệt nếu $\overline{abc}$ nhỏ hơn $500$ và ba chữ số cuối của $\overline{abc}^{\,3}$ là $\overline{abc}$. Tổng của số đặc biệt lớn nhất và số đặc biệt nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
Ở dưới, hình bên trái là một dây xích có hai vòng nối với nhau, còn hình bên phải là một dây xích có bảy vòng nối với nhau.
Ông Metal có $10$ dây xích. Hai dây giống nhau, mỗi dây chỉ gồm một vòng. Tám dây còn lại lần lượt có $2,3,5,8,13,21,34$ và $55$ vòng nối với nhau, như hình dưới đây.
Ông Metal muốn tạo thành từ hai dây xích trở lên, tất cả có cùng độ dài, không có chu trình khép kín hay vòng nào còn bị hở. Phải dùng tất cả các vòng. Thời gian ngắn nhất để làm việc đó là bao nhiêu phút, nếu cắt một vòng mất đúng $1$ phút (thao tác này tách vòng đó khỏi các vòng khác), còn nối các vòng bằng cách hàn kín một vòng đang hở mất đúng $3$ phút (sau khi móc nó vào không, một hoặc nhiều vòng khác)?
Ví dụ thao tác cắt A và B: Cắt; mất đúng một phút. Ví dụ thao tác nối A và B: Nối; mất đúng ba phút.
Hình dưới đây là một bảng $4\times4$ gồm $16$ ô vuông đơn vị, có một ngôi sao trong mỗi ô góc. Chia bảng bằng cách cắt theo các đường kẻ ô thành những miền không chồng lấn, mỗi miền nối với nhau qua cạnh. Một cách chia được gọi là hợp lệ nếu mọi miền có cùng diện tích và mỗi miền chứa đúng một ngôi sao. Hãy vẽ tất cả các cách chia hợp lệ của bảng.
(Lưu ý: Hai cách chia được coi là giống nhau nếu có thể biến cách này thành cách kia bằng một số hữu hạn phép đối xứng và/hoặc phép quay.)
Trả lời:
(Lưu ý: Có thể không cần điền hết mọi hình trả lời được cung cấp.)
Trong hình dưới đây, $ABCD$ là một tứ giác có diện tích $675$ cm², trong đó $AB$ song song với $CD$ và $AB=20$ cm, $CD=25$ cm. Các điểm $M,R$ và $T$ lần lượt nằm trên các đoạn $BD,AB$ và $AC$, sao cho $\frac{MD}{MB}=\frac16$ và $\frac{TC}{TA}=\frac14$.
Nếu diện tích tam giác $MRT$ là $216$ cm² thì độ dài $AR$ bằng bao nhiêu cm?
