2022 IIMC keystage3-IWYMIC team

Số đối xứng là số đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều như nhau. Có bao nhiêu số đối xứng có $11$ chữ số chia hết cho $101$?

Hàm số $f(x)$ được xác định với mọi số thực $x$ và thỏa mãn điều kiện sau:
$$f(x)+2f(y)=3f\left(\frac{x+2y}{3}\right)$$
với mọi hai số thực $x$ và $y$. Nếu $f(2)=1$ và $f(5)=7$ thì tìm $f(2022)$.

Một công ty công nghệ cao của Indonesia đã phát minh ra một túi khí có thể được thả từ các tòa nhà cao mà không bị vỡ. Một kĩ sư sẽ tiến hành thử nghiệm tại Autograph Tower Thamrin Nine, hiện là tòa nhà cao nhất Indonesia, có $75$ tầng. Mục tiêu của anh là tìm tầng cao nhất của tòa nhà mà khi thả túi khí từ đó, túi không bị vỡ. Kĩ sư chỉ chế tạo hai nguyên mẫu túi khí giống hệt nhau để thử nghiệm, có thể thả từ các tầng khác nhau của tòa nhà. Nếu túi khí không vỡ sau khi thả, nó có thể được dùng lại mà chất lượng không suy giảm. Tuy nhiên, nếu cả hai túi khí đều vỡ trước khi kĩ sư xác định được tầng cao nhất thì thử nghiệm bị coi là thất bại. Kĩ sư cần thả túi khí ít nhất bao nhiêu lần để bảo đảm xác định được tầng cao nhất?

Trong hình dưới đây, các điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ nằm trên đường tròn đơn vị và
$$\angle A_5A_2A_4=\angle A_1A_3A_5=\angle A_2A_4A_1=\angle A_3A_5A_2=30^\circ.$$
Cho $A_2A_4$ và $A_3A_5$, $A_3A_5$ và $A_4A_1$, $A_4A_1$ và $A_5A_2$, $A_5A_2$ và $A_1A_3$ lần lượt cắt nhau tại các điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$. Tìm diện tích của ngũ giác $B_1B_2B_3B_4B_5$, tính bằng đơn vị diện tích.



**Ghi chú về nguồn.** Câu in trong đề liệt kê bốn cặp dây nhưng có năm nhãn giao điểm. Hình đã cho xác định điểm còn lại là $B_5=A_1A_3\cap A_2A_4$; câu gốc và hình gốc được giữ ở trên.

Nếu $ax+by=7$, $ax^2+by^2=49$, $ax^3+by^3=133$ và $ax^4+by^4=406$ thì tìm giá trị của $2022(x+y)+7(a+b)+2xy$.

Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau các số $1,2,3,4,5,6$ và $7$ thành một hàng sao cho tổng của $2$ số bất kì đứng liền nhau là số nguyên tố?

Cho $PQRS$ là hình thang có $PS\parallel QR$ và $T$ là giao điểm của $PR$ và $QS$, như hình dưới đây. Gọi $I$, $M$ và $C$ lần lượt là trung điểm của $ST$, $PQ$ và $RT$. Nếu $\angle STR=120^\circ$, $\angle SQR=\angle SPR$ và diện tích tam giác $IMC$ bằng $1024\sqrt3$ xentimét vuông thì tìm độ dài của $PQ$, tính bằng xentimét.

Trong hình dưới đây, $ABC$ là tam giác đều, trong đó $M$ và $N$ lần lượt là các điểm trên $AC$ và $BM$, sao cho $\angle ABM=15^\circ$ và $\angle BAN=30^\circ$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$. Chứng minh rằng $AN=NP$.

Xác định có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(a,b)$ thỏa mãn các điều kiện sau:

- $1\le a,b\le100$ và $a\ne b$.
- $a$ là số chẵn.
- $(a-1)\mid(b-1)$, $a\mid b$ và $(a+1)\mid(b+1)$.

Andy lập tập con nhỏ nhất $S$ của tập các số nguyên dương thỏa mãn các tính chất sau:

- Nếu số $t$ thuộc $S$ thì các số $6t$ và $6t+1$ cũng thuộc $S$.
- Số $1$ thuộc $S$, nhưng các số $2,3,4$ và $5$ không thuộc $S$.

Sau đó, Andy tính tổng của hai số khác nhau trong $S$, trong đó cả hai số đều nhỏ hơn $2022$. Andy có thể nhận được bao nhiêu tổng khác nhau?