Ngân hàng câu hỏi xIMC 2007

Gọi $a_n$ là trung bình các bội của $n$ từ một đến $101$. Số nào lớn nhất trong $a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$?

Bốn người qua cầu hẹp ban đêm với một đèn. Mỗi lượt nhiều nhất hai người, đi theo tốc độ người chậm hơn. Nếu còn người ở phía ban đầu, phải có người mang đèn quay lại. Thời gian riêng là hai, bốn, tám và mười sáu phút. Tìm thời gian nhỏ nhất để cả bốn qua cầu.

Trong tam giác $ABC$, $E\in AC,F\in AB$, hai đoạn $BE,CF$ cắt tại $D$. Diện tích $BDF,BCD,CDE$ lần lượt là ba, bảy, bảy cm vuông. Tìm diện tích tứ giác $AEDF$.

Một đơn vị bốn mươi tám lính có đúng một nửa có quân phục. Đội hình chữ nhật $6\times8$ có vừa đủ vị trí bên trong để giấu mọi người không có quân phục. Có thêm lính mới; lại có một nửa có quân phục và đội hình chữ nhật khác có vừa đủ chỗ bên trong. Có bao nhiêu lính mới?

Tổng $2008$ số nguyên dương liên tiếp là số chính phương. Số lớn nhất trong chúng có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Hai bản sao tờ giấy tam giác có cạnh ba, bốn và năm cm. Mỗi bản gấp theo đường qua một đỉnh góc nhọn để hai cạnh tại đó trùng nhau. Miền không bị phần gấp che được tô. Tổng hai miền tô bằng ba mươi chín cm vuông. Tìm diện tích tam giác ban đầu theo cm vuông.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho $2^n$ chia hết $3^{1024}-1$.

Bốn hàng rào thẳng dài một, bốn, bảy và tám mét tạo thành tứ giác. Diện tích lớn nhất theo mét vuông là bao nhiêu?

Trong hình, $CE=CF=EF$, $EA=BF=2AB$, và $PA=QB=PC=QC=PD=QD=1$ cm. Tìm $BD$ theo cm.

Dùng mỗi chữ số $2,3,4,5,6,7,8,9$ đúng một lần trong tám ô của $$\frac1{\Box\times\Box}+\frac\Box{\Box\times\Box}+\frac\Box{\Box\times\Box}=1.$$ Phân số lớn nhất trong ba phân số bằng bao nhiêu?

Với $x$ thực, gọi $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên, $\{x\}$ là phần lẻ. Tìm tổng mọi nghiệm dương của $25\{x\}+\lfloor x\rfloor=125$.

Số nguyên dương $n$ là tốt nếu có số chính phương có tổng chữ số thập phân bằng $n$. Ví dụ mười ba tốt vì $7^2=49$, $4+9=13$. Có bao nhiêu số tốt trong $1,\ldots,2007$?

Bảng $4\times4$ có mười tám đường: bốn hàng, bốn cột, và năm đường chéo dài từ hai đến bốn ô theo mỗi hướng. Đặt mười quân vào các ô khác nhau. Mỗi đường có số quân chẵn được một điểm. Tìm điểm lớn nhất.

Mạng nối mọi cặp trong năm thành phố bắt buộc có giao cắt. Mạng chín đường nối mỗi trong ba thành phố với mỗi trong ba thị trấn cũng vậy, như hình. Với mười lăm đường nối mọi cặp sáu thành phố, số giao cắt nhỏ nhất là bao nhiêu?

Số nguyên tố thập phân là tuyệt đối nếu mọi hoán vị chữ số của nó đều nguyên tố. Ví dụ $2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733)$. Chứng minh không có số nguyên tố tuyệt đối chứa cả bốn chữ số một, ba, bảy, chín.

Điền các số một đến chín, mỗi số đúng một lần, vào chín miền của biểu tượng Olympic đã vẽ, sao cho tổng trong mỗi đường tròn bằng mười bốn.

Mười bốn mảnh giấy xếp chồng như hình. Bắt đầu tại $B$, chuyển sang mảnh kề, kết thúc tại $F$, luân phiên lên mảnh cao hơn và xuống mảnh thấp hơn. Có thể thăm lại và không cần thăm mọi mảnh. Liệt kê một đường đi hợp lệ.

Ghi một đến mười bốn, mỗi số một lần, vào mười bốn giao điểm của ngôi sao bảy cánh, sao cho tổng bốn nhãn trên mỗi đường thẳng bằng nhau.

Một số có ba chữ số có bình phương tận cùng bằng chính ba chữ số đó. Tìm tổng mọi số ba chữ số khác nhau có tính chất này.

Tìm mọi số nguyên dương $m,n$ sao cho $10(m^2+1)=n^2+1$, trong đó $m^2+1$ nguyên tố.