Ngân hàng câu hỏi xIMC 2008

Kiến xuất phát tại $(0,0)$ ở góc tây nam lưới $5\times5$, chỉ đi sang đông hoặc bắc theo đường lưới tới $(5,5)$. Không được qua bốn giao điểm hỏng $(1,1),(1,4),(4,1),(4,4)$. Có bao nhiêu đường đi khác nhau?

Số nguyên dương $a-2$ chia hết $3a^2-2a+10$. Tìm tổng mọi giá trị có thể của $a$.

Các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=11$ và $\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}=\frac{13}{17}$. Tính $\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}$.

Với $x$ thực, giá trị thực lớn nhất của $\sqrt{2008-x}-\sqrt{x-2000}$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số mười chữ số chỉ dùng hai và ba, không có hai chữ số ba kề nhau?

Trên đường tròn có $n$ số có tổng chín mươi bốn. Mỗi số bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số tiếp theo theo chiều kim đồng hồ. Tìm tổng mọi giá trị có thể của $n$.

Giảm chữ số hàng nghìn của số chính phương bốn chữ số đi ba, tăng hàng đơn vị thêm ba, được số chính phương bốn chữ số khác. Số ban đầu là bao nhiêu?

Đường gấp $A-B-C-D$ gồm các đoạn song song cạnh hình chữ nhật và chia đôi diện tích. Điểm $E$ trên chu vi khiến $AE$ cũng chia đôi diện tích. Cho $AB=30$, $BC=24$, $CD=10$ cm, tính $DE$ theo cm.

Cho $f(x)=ax^2-c$, $a,c$ thực, với $-4\le f(1)\le-1$, $-1\le f(2)\le2$. Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(8)$.

Hai gương đứng đối diện tạo góc ba mươi độ tại $V$. Tia ngang từ $S$, song song một gương, chạm gương kia tại $A$, rồi sau phản xạ trở về $S$. Nếu $SA=AV=1$ cm, tìm tổng quãng đường theo cm.

Số nguyên dương $n$ khiến $n^2-n+11$ là tích bốn số nguyên tố, có thể lặp. Tìm $n$ nhỏ nhất.

$ABC$ đều, $ABDE$ là hình chữ nhật có cạnh $DE$ qua $C$. Đường tròn nội tiếp $ABC$ bán kính một cm. Tính đường kính đường tròn qua $A,B,D,E$ theo cm.

Tính $\left\lfloor\sqrt{2008+\sqrt{2008+\sqrt{2008+\cdots}}}\right\rfloor$, có đúng $2008$ lần xuất hiện $2008$. Dấu ngoặc là số nguyên lớn nhất không vượt số đó.

Tam giác $ABC$ có $\angle ABC=60^\circ$, tâm ngoại tiếp $O$, trực tâm $H$. Các điểm $D\in BC$, $E\in AB$ thỏa $BD=BH$, $BE=BO$. Nếu $BO=1$ cm, tìm diện tích $BED$ theo cm vuông.

Số nguyên dương $t$ thỏa $2^t=a^b\pm1$ với $a,b$ nguyên lớn hơn một. Tìm mọi $t$.

Phân số $p/q$ tối giản có khai triển $0.ababab\ldots$. Hai chữ số $a,b$ có thể bằng nhau nhưng không đồng thời không. Có bao nhiêu tử số $p$ khác nhau?

Che ít ô nhất trong bảng số $8\times8$ đã cho để không có hai số bằng nhau chưa che cùng hàng hoặc cột. Hai ô chung cạnh không được cùng bị che.

Vẽ một đường kín không tự cắt qua các ô chung cạnh của bàn $8\times8$ đã cho. Đường phải qua mọi ô có vòng tròn nhưng không cần qua mọi ô. Tại vòng đen phải rẽ, nhưng cả ô trước và ô sau không được rẽ. Tại vòng trắng phải đi thẳng, nhưng phải rẽ tại ô trước hoặc sau, hoặc cả hai.

Xét hộp có kích thước nguyên $1\le a\le b\le c\le5$. Hộp lọt trong hộp khác khi và chỉ khi cả ba kích thước tương ứng không vượt kích thước kia. Chọn được nhiều nhất bao nhiêu hộp để không hộp nào lọt trong hộp khác?

Ban đầu bảng có một và bốn. Mỗi bước chọn các số $a,b$ trên bảng và viết thêm $c=ab+a+b$. Tìm số nhỏ nhất không dưới $2008$ có thể xuất hiện.