Vào đêm giao thừa, một nhóm trẻ tụ tập để chơi một trò chơi toán học đơn giản. Bạn đầu tiên viết $2022$ lên bảng. Bạn thứ hai và mỗi bạn tiếp theo thay số mà bạn trước đã viết bằng tích các chữ số của số đó cộng với $12$. Bạn thứ $59$ viết số nào?
Điền vào bảng vô hạn các số $1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,\ldots$ (lặp lại các số từ $1$ đến $7$) theo đường xoắn ốc ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ ô được tô màu như hình dưới đây. Số nào được viết vào ô cách ô được tô màu $2022$ ô về phía dưới?
Một số nguyên dương có bốn chữ số được gọi là “tốt” nếu gồm hai cặp chữ số giống nhau theo một thứ tự nào đó, nhưng không phải cả bốn chữ số đều giống nhau. Chẳng hạn, các số $2211$, $2424$ và $7007$ là tốt, còn $5555$ và $3111$ thì không. Tìm tổng số các số nguyên dương tốt có bốn chữ số chia hết cho $7$ hoặc $101$, nhưng không chia hết cho cả hai.
Trong một nhóm năm người, tuổi của bốn người đã biết là $21$, $53$, $19$ và $60$. Biết rằng tuổi trung bình của năm người là một số lẻ. Nếu xếp tuổi của năm người theo thứ tự tăng dần thì tuổi ở giữa là bội của $3$. Tìm tổng tất cả các giá trị có thể có của tuổi người thứ năm.
Năm kì thủ Andy, Boris, Clark, Dick và Eric thi đấu trong một giải, trong đó mỗi cặp người chơi gặp nhau đúng một lần. Trong mỗi ván, một người được $2$ điểm nếu thắng, $1$ điểm nếu hòa và $0$ điểm nếu thua. Khi giải kết thúc, người ta thấy rằng: Boris hòa tất cả các ván; Clark thắng đúng hai ván; Dick hơn Andy $1$ điểm; Eric không đứng cuối và chỉ thua người duy nhất có tổng điểm thấp nhất. Nếu tổng điểm tương ứng của họ là $a,b,c,d,e$, thì số có năm chữ số $\overline{abcde}$ là bao nhiêu?
Một tờ giấy hình chữ nhật được cắt thành hai mảnh như hình dưới đây, trong đó một vùng được tô màu. Tám cạnh của vùng tô màu có độ dài $1$ cm, $2$ cm, $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm, $6$ cm, $7$ cm và $8$ cm theo một thứ tự nào đó. Diện tích lớn nhất và nhỏ nhất có thể, tính bằng cm$^2$, của vùng không tô màu là bao nhiêu?
Diện tích lớn nhất có thể của vùng không tô màu là ______ cm$^2$.
Diện tích nhỏ nhất có thể của vùng không tô màu là ______ cm$^2$.
Trong một bảng $8\times8$, mỗi ô có một con bọ. Sau khi chuông reo, mọi con bọ nhảy sang một ô kề trong cùng hàng hoặc cùng cột và không nhảy ra ngoài bảng. Mỗi ô có thể trống hoặc chứa nhiều hơn một con bọ. Số ô trống lớn nhất sau khi chuông reo là bao nhiêu?
Ta xếp bảy số có $4$ chữ số sau: $2021$, $2022$, $2023$, $2024$, $2025$, $2026$ và $2027$ thành một hàng sao cho hai số kề nhau bất kì đều nguyên tố cùng nhau. Chẳng hạn, $2027,2022,2023,2024,2025,2026,2021$ là một cách xếp như vậy.
