Ngân hàng câu hỏi xIMC 2011

Các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca+2(a+b+c)=8045$, $abc-a-b-c=-2$. Tìm $a+b+c$.

Lớp có người luôn nói dối và người không bao giờ nói dối. Ai cũng biết loại của những người khác. Hôm nay mỗi người nói loại của từng người khác, câu trả lời “nói dối” xuất hiện hai trăm bốn mươi lần. Hôm qua làm tương tự nhưng vắng một người, có hai trăm mười sáu lần. Hôm nay bao nhiêu người?

Các nhân tử $1!\cdot2!\cdots2011!\cdot2012!$ được viết trên bảng. Xóa nhân tử giai thừa nào để tích còn lại là chính phương nguyên? $n!$ là tích mọi số nguyên dương không quá $n$.

$B,E$ trên $AD,AC$ của tam giác $ACD$, $BC,DE$ gặp ở $F$. Các tam giác $ABC,AED$ bằng nhau, $AB=AE=1$ cm, $AC=AD=3$ cm. Tìm tỉ số diện tích $[ABFE]:[ADC]$.

Số nguyên dương $n$ có đúng bốn ước dương, gồm một và chính nó. $n+1$ bằng bốn lần tổng hai ước còn lại. Tìm $n$.

Jo nói Kate ba số nguyên dương có tích ba mươi sáu và cho biết tổng, nhưng Kate vẫn không xác định được ba số. Tổng là bao nhiêu?

Hai đường tròn $A,B$ bán kính một centimet tiếp xúc ngoài. Các đường tròn cùng bán kính $P,Q,R,S$ tiếp xúc ngoài như hình: $P$ với $A,B,Q,S$; $Q$ với $P,B,R$; $R$ với $A,B,Q,S$; $S$ với $P,A,R$. Tìm bán kính chung theo centimet.

Tìm bội dương nhỏ nhất của cả bảy và tám mà mọi chữ số là bảy hoặc tám, có ít nhất một chữ số mỗi loại.

Tam giác có cạnh năm mươi, một trăm hai mươi, một trăm ba mươi centimet. Tính diện tích miền trong và ngoài tam giác gồm các điểm cách ít nhất một điểm trên các cạnh hai centimet. Dùng $\pi=22/7$.

Đếm các số nguyên dương tám chữ số chỉ gồm không, một, bắt đầu bằng một, có tổng chữ số vị trí chẵn bằng tổng vị trí lẻ.

Quân trên lưới ô vuông đơn vị vô hạn đi bước đầu một ô về bắc. Bước số lẻ về bắc hoặc nam; bước số chẵn về đông hoặc tây. Bước thứ $n$ đi $n$ ô cùng hướng. Sau mười hai bước, khoảng cách tâm ô đầu và cuối nhỏ nhất theo centimet là bao nhiêu?

Các số thực $a,b,c$ thỏa $\frac{a(b-c)}{b(c-a)}=\frac{b(c-a)}{c(b-a)}=k\gt 0$. Tìm $\lfloor k\rfloor$.

Hai đường chéo $AC,BD$ của tứ giác $ABCD$ gặp tại $E$. Nếu $AE=CE$, $\angle ABC=\angle ADC$, thì $ABCD$ có nhất thiết là hình bình hành không?

Với $a=1,2,\ldots,2011$, phương trình $x^2-2x-a^2-a=0$ có nghiệm $\alpha_a,\beta_a$. Tính $\sum_{a=1}^{2011}(1/\alpha_a+1/\beta_a)$.

Mười lăm tia chung gốc có thể tạo nhiều nhất bao nhiêu góc tù? Góc giữa hai tia lấy không quá một trăm tám mươi độ.

Tìm mọi nghiệm thực của $x^2-x+1=(x^2+x+1)(x^2+2x+4)$.

Mười bảy quân domino $1\times2$ phủ bảng $5\times8$ trừ sáu ô. Ba ô trống có vòng trắng trong hình; hai ô vòng đen được phủ. Ba ô trống kia cùng một cột dọc. Đó là cột nào?

Điền mỗi số $1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14$ một lần vào các ô trống. Mũi tên từ ô không phải hướng tới ô một, từ ô một tới ô hai, v.v. Các ô cho sẵn chứa không, tám, mười lăm.

Hình cho bảng $5\times8$ có hai ô đánh dấu và hai bảng con $3\times4$ ví dụ chứa cả hai. Có bao nhiêu bảng con hình chữ nhật kích thước bất kỳ chứa ít nhất một ô đánh dấu?

Ba đại lộ rộng mười lăm, mười bốn, mười ba mét gặp nhau ở Tam giác Đỏ ngoài Moskva. Ba cổng quay gắn tại các giao điểm A, B, C. Như hình, A và B đóng một đại lộ, C đẩy sang bên để thông hai đại lộ kia. Tìm độ dài ba cổng nếu mỗi cặp đóng vừa một đại lộ.