2024 InIMC keystage3-IWYMIC individual

Cho $N=\dfrac{1^4+2022^4+2023^4}{1^2+2022^2+2023^2}$. Số dư khi chia $N$ cho 2024 là bao nhiêu?

Cho $a$ và $b$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{a}{a+b^2}+\dfrac{b}{b+a^2}=\dfrac78$ và $ab=2$. Giá trị của $a^9+b^9$ là bao nhiêu?

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a+1)(a+2)(a+3)\cdots(a+b)=2527k$, trong đó $k$ là số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất có thể của $a+b$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới, $ABC$ là tam giác cân có $AB=AC$ và $\angle BAC=80^\circ$. Các điểm $D$ và $K$ lần lượt nằm trên $BC$ và $AC$, sao cho $\angle CAD=\angle ABK=30^\circ$. Số đo theo độ của $\angle BKD$ là bao nhiêu?

Gọi $\alpha$ và $\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Giá trị của $\alpha^9+13\alpha^8\beta^9+\beta^8$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới, $ABC$ là một tam giác có các đường phân giác của $\angle ABC$ và $\angle ACB$ cắt nhau tại điểm $P$. Các điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $AC$, sao cho $DE$ đi qua $P$ và $\angle AED=\angle ABP$. Nếu diện tích các tam giác $BDP$, $CEP$ và $BPC$ lần lượt bằng 18 cm², 36 cm² và 57 cm², thì diện tích của $ABC$ bằng bao nhiêu cm²?

Dùng ba chữ số khác nhau $A$, $B$ và $C$, mỗi chữ số đúng một lần, để tạo ra 6 số có ba chữ số. Trong các số này, biết rằng:

- Chỉ có một số chia hết cho 16.
- Không kể số trên, chỉ có một số chia hết cho 4.
- Không kể hai số trên, chỉ có hai số chia hết cho 2.
- Một số là số nguyên tố.
- Một số là bình phương của một số nguyên tố.

Số có ba chữ số lớn nhất có thể tạo được bằng cách dùng mỗi chữ số $A$, $B$ và $C$ đúng một lần là bao nhiêu?

Trong hình dưới, có 14 điểm trên một đường tròn. Có bao nhiêu cách vẽ 7 dây cung không cắt nhau nối các điểm này? (Lưu ý rằng các dây cung không được có chung đầu mút.)

Két của bố tôi được bảo vệ bằng một mã chỉ có thể mở bằng cách nhập mật khẩu gồm ba chữ số, mỗi chữ số là 1, 2 hoặc 3.



Két chỉ mở khi các nút tương ứng với ba chữ số của mật khẩu được nhấn liên tiếp đúng thứ tự. Chẳng hạn, có thể nhấn 1, 2, 3, 1, 2 và két sẽ mở nếu mật khẩu là 312.

Mẹ tôi không biết mật khẩu nhưng muốn mở két. Mẹ phải nhấn ít nhất bao nhiêu nút để chắc chắn két sẽ mở? Lưu ý rằng két không có nút [ENTER].

Với mỗi số thực dương $x$, định nghĩa $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, còn $\{x\}$ là phần lẻ của $x$, thỏa mãn $\{x\}=x-[x]$. Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương thỏa mãn hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}a+2[b]+2\{c\}=4.6,\\\left[a\right]+\{b\}-c=1,\\2\{a\}+2b+[c]=4.5.\end{cases}$$
Giá trị lớn nhất có thể của $a+b+c$ là bao nhiêu?

Trong một lưới vô hạn, mỗi ô vuông đơn vị được tô trắng hoặc xám. Nếu các ô $X$ và $Y$ nằm cùng hàng, còn các ô $Y$ và $Z$ nằm cùng cột, với các ô $X$ và $Z$ màu trắng và ô $Y$ màu xám, thì bộ ba có thứ tự $(X,Y,Z)$ được gọi là một “tam giác IMC”. Chẳng hạn, trong lưới dưới đây, $(X,Y,Z)$ là một tam giác IMC.



Số “tam giác IMC” lớn nhất có thể tìm được trong một lưới $15\times15$ là bao nhiêu?

Mỗi ô của một lưới vô hạn được điền đúng một chữ số. Elsa đặt một tetromino hình O lên lưới, phủ bốn ô theo các đường kẻ của lưới:



Số chữ số khác nhau ít nhất cần dùng để điền lưới vô hạn sao cho bốn ô được phủ có các chữ số khác nhau, bất kể vị trí của tetromino hình O, là 4. Lưới sau là một ví dụ về cách điền ấy.



Khi Elsa đặt một tetromino hình L lên lưới, phủ bốn ô theo các đường kẻ của lưới, thì phải dùng ít nhất bao nhiêu chữ số khác nhau cho lưới vô hạn để bốn ô được tetromino hình L phủ luôn có các chữ số khác nhau? (Elsa có thể lật hoặc xoay tetromino hình L)

Xét dãy số hữu hạn sau: $\sqrt1,\sqrt2,\sqrt3,\ldots,\sqrt{2023},\sqrt{2024}$. Ở mỗi lượt, chọn hai số trong dãy, gọi là $x$ và $y$, loại chúng khỏi dãy rồi thay bằng một số duy nhất:
$$z=\sqrt{\frac{1}{\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{x^2y^2}}}.$$
Sau khi thực hiện 2023 lần, dãy chỉ còn một số. Số đó là gì?



Yêu cầu của phần B: Trình bày lời giải chi tiết.

Trong hình dưới, $A_1A_2A_3$, $B_1B_2B_3$ và $C_1C_2C_3$ là ba tam giác sao cho $A_1A_2A_3$ nằm trong $B_1B_2B_3$, còn $B_1B_2B_3$ nằm trong $C_1C_2C_3$, trong đó $B_i$ là trung điểm của $A_iC_i$ với mọi $1\le i\le3$.



Nếu chu vi các tam giác $A_1A_2A_3$ và $C_1C_2C_3$ lần lượt là $a$ cm và $c$ cm, thì chu vi lớn nhất có thể, tính bằng cm, của $B_1B_2B_3$ là bao nhiêu?



Yêu cầu của phần B: Trình bày lời giải chi tiết.

Anne và Bob chơi một trò chơi với các số trên một tờ giấy ban đầu chỉ ghi số 2024. Anne đi trước; hai người lần lượt viết một số nguyên dương ít nhất bằng một phần ba số trước đó nhưng nhỏ hơn số trước đó. Ở lượt đầu, Anne phải viết một số nhỏ hơn 2024 nhưng không nhỏ hơn $\dfrac{2024}{3}$. Người viết số 1 thắng trò chơi. Hãy xác định, kèm chứng minh đầy đủ, người nào có chiến lược thắng. Chiến lược đó là gì?



Dòng trả lời gốc có nghĩa là: ___ có chiến lược thắng.

Yêu cầu của phần B: Trình bày lời giải chi tiết.