2025 IMC keystage3-IWYMIC team

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa $1/a^2+1/b^2=1/c^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a$.

Có bao nhiêu bộ ba nguyên có thứ tự $(a,b,c)$ là ba nghiệm của $x^3+px^2+q=0$ với một số thực $p,q$, và đúng hai trong $|a|,|b|,|c|$ là số nguyên tố?

Cho $p(x)=x^2-6x+849$. Tính tổng tất cả số nguyên $m$ để $p(m)$ là số chính phương.

Với số thực $x$, đặt $[x]=\lfloor x\rfloor$, $\{x\}=x-[x]$. Các số nguyên dương $(n,p,q)$ thỏa $q\gt p\gt3$, $n\le2025$ và $\{n/2\}+\{n/3\}+\{n/p\}+\{n/q\}=3$. Trong các bộ làm $p+q$ nhỏ nhất, có bao nhiêu giá trị $n$?

Hình thang $ABCD$ có diện tích $2025\ \mathrm{cm}^2$, $AB\parallel CD$, $E\in AB$. Các điểm $M,R,T$ lần lượt là trọng tâm của $ADE,CDE,BCE$. Tính diện tích tam giác $MRT$, đơn vị $\mathrm{cm}^2$.

Mười chữ số cuối của biểu diễn nhị phân của $47^{2025}$ là gì?

Alan được 1 điểm cho trận thắng đầu của một chuỗi, rồi mỗi trận thắng liên tiếp được thêm 1 điểm so với trận trước. Sau trận thua, trận thắng tiếp theo lại được 1 điểm. Bạn ấy chơi 100 trận, thắng 80. Tổng điểm nhỏ nhất là bao nhiêu?

Trại kéo dài 8 ngày. Mỗi học sinh trực bếp đúng 3 ngày, và không có cặp học sinh nào cùng trực quá một lần. Số học sinh nhiều nhất là bao nhiêu?

Một hình thang cân có ba cạnh bằng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng hiệu độ dài hai đáy. Tìm tất cả số đo có thể của góc nhọn, theo độ.

Nhà hàng ở Đà Nẵng có bốn lựa chọn: Bèo, Nậm, Combo Bèo và Nậm, Xèo. Một thí sinh ăn tại đó cả sáu tối 14–19 tháng 8, mỗi tối chọn đúng một lựa chọn. Không được ăn cùng loại món trong hai tối liên tiếp. Chẳng hạn sau Bèo không được chọn Bèo hoặc Combo; nếu tối 5 chọn Combo thì tối 4 và tối 6 không được chọn Bèo, Nậm hoặc Combo. Có bao nhiêu dãy lựa chọn cho sáu tối?