Ngân hàng câu hỏi xIMC 2013

Chữ khác nhau biểu diễn chữ số khác nhau, chữ giống nhau cùng chữ số. Số ba chữ số $\overline{ABB}$ ít hơn $\overline{CDC}$ hai mươi lăm. Tìm căn bậc hai nguyên dương của $\overline{ABBCDC}$.

Nhà vuông cạnh ba mươi mét ở góc đông bắc nông trại vuông cạnh một trăm hai mươi mét. Hai hàng rào chữ V chia đất còn lại thành ba mảnh chữ V bằng diện tích như hình. Hai đoạn vuông góc của mỗi hàng rào dài bằng nhau. Tìm tổng chiều dài hàng rào ngắn hơn.

Có bao nhiêu cách xếp sáu chữ khác nhau của MOUSEY không chứa từ liên tiếp YOU hoặc ME? Chính MOUSEY là một ví dụ.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $a\le b$ khiến $2(\sqrt{15/a}+\sqrt{15/b})$ nguyên?

Vuông cạnh tám mươi centimet chứa hai nửa tròn tiếp xúc ở tâm vuông, và một tròn nhỏ tiếp xúc vuông cùng hai nửa tròn như hình. Tìm bán kính nhỏ, theo centimet.

Độ dài lớn nhất của dãy số nguyên dương liên tiếp, mỗi số là tổng bình phương hai số nguyên dương, bằng bao nhiêu?

Tam giác vuông cân $APQ$ nằm trong chữ nhật $ABCD$, đỉnh góc vuông $P$ trên $BC$, $Q$ trên $CD$. Biết $BP=1$ cm, $\angle APB=60^\circ$, tìm $[ADQ]$ theo centimet vuông.

Lea đeo một nhẫn kim cương, một nhẫn vàng, một nhẫn ngà trên tay phải. Mỗi nhẫn ở bất kỳ trong năm ngón; thứ tự khác trên cùng ngón được tính khác. Có bao nhiêu cách đeo cả ba?

Với số nguyên dương $a,b,c$, $\gcd(b+c,c+a,a+b)=k\gcd(a,b,c)$. Tìm $k$ lớn nhất.

Tam giác $ABC$ có $BC=4,CA=5,AB=3$ cm. Các tròn tâm $A,B,C$ tiếp xúc đôi một. Tròn thứ tư bao chứa và tiếp xúc cả ba như hình. Tìm bán kính theo centimet.

Các số nguyên dương $a\lt b$ có trung bình cộng $(a+b)/2$ và nhân $\sqrt{ab}$ là số nguyên dương hai chữ số, cùng hai chữ số nhưng đảo thứ tự. Tìm $a$ nhỏ nhất.

Nhà máy cắt tấm kim loại $7\times7$ không bỏ ô nào thành vuông $2\times2$ và tấm chữ L ba ô, bỏ một ô từ vuông $2\times2$. Tìm số tấm chữ L ít nhất.

Cho $$S_n=\sum_{i=1}^n\frac1i+\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=j}^n\frac1i\right)^2.$$ Mỗi ngoặc kế bỏ số hạng đầu của ngoặc trước. Tìm $S_{2013}$.

Trong vuông $ABCD$, $\angle PCB=\angle QDC=\angle RAD=\angle SBA$ như hình. Nếu $[ABCD]=2[PQRS]$, tìm $\angle PCB$ theo độ.

Tám đồng xu một hàng ban đầu đều ngửa. Mỗi bước chỉ lật hai xu kề đang cùng mặt. Có bao nhiêu mẫu ngửa–sấp khác nhau đạt được sau bất kỳ số bước nào?

Điền mười chữ số vào mười tròn như hình, mỗi số một lần. Hai số liên tiếp không ở hai tròn nối trực tiếp bằng đoạn. Tổng số trên biên ba chữ nhật là mười, mười bốn, ba mươi bảy theo nhãn.

Tam giác vuông có độ dài cạnh nguyên, nguyên tố cùng nhau, theo centimet. Đường nối trọng tâm và tâm nội tiếp vuông góc một cạnh. Tìm chu vi nhỏ nhất.

Đặt quân ngẫu nhiên đều lên một trong chín tròn như hình, rồi chọn đều một đoạn nối từ đó để đi tới tròn khác. Xác suất đến tròn đen là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có $\angle A=40^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Phân giác góc A gặp $BC$ tại $D$. $F$ trên $AB$, $\angle ADF=30^\circ$. Tìm $\angle DFC$.

Số nguyên dương có hai nghìn không trăm mười ba chữ số, chữ đầu năm. Mỗi cặp chữ số kề tạo bội mười ba hoặc hai mươi bảy. Tìm tổng các chữ số cuối khác nhau có thể.