Ngân hàng câu hỏi xIMC 2000

Tìm chữ số hàng đơn vị của $17^{2000}$.

Tổng của bốn trong sáu phân số $\frac13,\frac16,\frac19,\frac1{12},\frac1{15},\frac1{18}$ bằng $\frac23$. Tìm tích của hai phân số còn lại.

Tìm bội lẻ có ba chữ số nhỏ nhất của $11$ mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng đơn vị.

Tính tổng tất cả các số nguyên giữa $150$ và $650$ có số dư $4$ khi chia cho $10$.

Tìm thương khi chia số có bốn nghìn chữ số, gồm hai nghìn chữ số một rồi đến hai nghìn chữ số hai, cho số có hai nghìn chữ số đều bằng $6$.

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố khác nhau với $p+q=192$. Nếu $2p-q$ lớn nhất có thể, giá trị của $p+q$ là bao nhiêu?

Tìm số đo $\angle BAD$ theo độ, biết $D$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$, $AC=CD$ và $\angle CAB=\angle ABC+45^\circ$.

Cho $a,b,c,d,e$ là các chữ số. Bình phương của số có mười lăm chữ số $100000035811ab1$ là số có hai mươi chín chữ số $1000000cde2247482444265735361$. Tìm $a+b+c-d-e$.

$P$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$. Biết $PA=4$ cm, $PB=6$ cm và $PD=9$ cm. Tính $PC$ theo xentimét.

Trên thang Celsius, nước đóng băng ở $0^\circ$ và sôi ở $100^\circ$. Trên thang Sulesic, nước đóng băng ở $20^\circ$ và sôi ở $160^\circ$. Tìm nhiệt độ theo thang Sulesic tương ứng với $215^\circ$ Celsius.

Các đỉnh của một hình vuông đều nằm trên một đường tròn. Hai đỉnh kề nhau của hình vuông thứ hai nằm trên đường tròn ấy, còn hai đỉnh kia nằm trên một đường kính. Tìm tỷ số diện tích hình vuông thứ hai và hình vuông thứ nhất.

Mười số nguyên dương được viết thành một hàng. Tổng của ba số liên tiếp bất kỳ bằng $20$. Số đầu tiên là $2$, số thứ chín là $8$. Tìm số thứ năm.

$E$ nằm trên cạnh $AB$, $F$ nằm trên cạnh $CD$ của hình vuông $ABCD$. Gấp hình vuông theo $EF$ thì vị trí mới $A^\prime$ của $A$ nằm trên $BC$. Gọi $D^\prime$ là vị trí mới của $D$, $G$ là giao điểm của $CF$ và $A^\prime D^\prime$. Chứng minh $A^\prime E+FG=A^\prime G$.

Hai mươi số nguyên dương phân biệt được viết lên hai mặt của mười tấm thẻ, mỗi mặt một số. Tổng hai số trên mỗi thẻ bằng nhau ở tất cả các thẻ. Tổng mười số ở mặt trước bằng tổng mười số ở mặt sau. Chín số ở mặt trước là $2,5,17,21,24,31,35,36,42$. Tìm số ở mặt trước của thẻ còn lại.

Hai số có ba chữ số $a,b$ và số có bốn chữ số $c$ thỏa mãn tổng chữ số của mỗi số $a+b,b+c,c+a$ đều bằng $3$. Tìm tổng chữ số lớn nhất có thể của $a+b+c$.

$E$ là trung điểm cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$. Điểm $H$ nằm trên $AE$ với $BE=EH$, điểm $X$ nằm trên $AB$ với $AH=AX$. Chứng minh $AB\cdot BX=AX^2$.

Bốn số nguyên không âm đã được điền vào bảng $5\times5$ dưới đây. Điền số nguyên dương vào $21$ ô còn lại sao cho tổng mỗi hàng và mỗi cột đều bằng nhau.

Với $n\ge1$, đặt $a_n=1000+n^2$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\gcd(a_n,a_{n+1})$.

Năm giáo viên dự đoán thứ hạng của năm lớp $A,B,C,D,E$ trong một kỳ thi như bảng dưới. Không có đồng hạng. Có hai giáo viên, mỗi người đoán đúng chính xác thứ hạng của hai lớp; ba giáo viên còn lại đoán sai thứ hạng của tất cả các lớp. Tìm thứ tự xếp hạng.

| Giáo viên | Thứ nhất | Thứ hai | Thứ ba | Thứ tư | Thứ năm |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | A | B | C | D | E |
| 2 | E | D | A | B | C |
| 3 | E | B | C | D | A |
| 4 | C | E | D | A | B |
| 5 | E | B | C | A | D |

Tìm mọi bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ với $a\le b\le c$ và $(1+\frac1a)(1+\frac1b)(1+\frac1c)=2$.