2024 IMC keystage3-IWYMIC team

Cho các số nguyên dương $C,M,S$ thỏa mãn $C^2+M^2+2^{2024}=25\times2^S$. Biết $C\le M$, hãy tìm bộ $(C,M,S)$.

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, với $a,b,c$ nguyên và $a\gt0$. Hai nghiệm thỏa mãn $0\lt x_1\lt x_2\lt1$. Giá trị nhỏ nhất của $a$ là bao nhiêu?

Chia $\{1,2,\ldots,2024\}$ thành $E,O$ theo tổng chữ số chẵn hoặc lẻ. Gọi $e,o$ là tổng các phần tử tương ứng. Tìm $e-o$.

Trong tam giác $ABC$, $I$ là giao điểm hai phân giác trong tại $B,C$. Biết $BI\cdot AC=CI\cdot AB$, chứng minh tam giác $ABC$ cân.

Trong hình, $PQRS$ là hình vuông trong một cửu giác đều, $P$ là một đỉnh và $R$ là giao điểm hai đường chéo được vẽ. Cạnh cửu giác dài 48 cm. Tính diện tích hình vuông, đơn vị $\mathrm{cm}^2$.

Cho số có bốn chữ số $\overline{ABCD}$. Hai chữ số cuối của $\overline{ABCD}^{\,2025}$ là 57. Số hai chữ số $\overline{CD}$ lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Các điểm $P\in BC,Q\in AB$ thỏa $\angle PAB=\angle CAB/3$, $\angle QCB=\angle ACB/3$. Điểm $R$ bên trong có $\angle RAC=\angle BAP$, $\angle RCA=\angle BCQ$. Biết $\angle QRC$ có số đo nguyên theo độ, tìm giá trị nhỏ nhất.

Một ô vuông con là hình vuông kích thước bất kỳ có biên nằm trên các đường lưới. Lưới $m\times n$ có đúng 2024 ô vuông con. Tìm giá trị nhỏ nhất của $mn$.

Ví dụ, lưới $2\times2$ có năm ô vuông con: bốn ô cạnh 1 và một ô cạnh 2.

Các con lừa mang số $1,\ldots,n$ đứng vòng tròn và lần lượt đọc D,O,N,K,E,Y, bắt đầu từ số 1. Con đọc Y rời vòng; con tiếp theo đọc D và tiếp tục cho đến khi còn một con. Với $n=186$, con thắng mang số 10. Tìm $n\gt186$ nhỏ nhất để con thắng mang số 100.

Ví dụ với bốn con lừa, con số 2 đọc Y đầu tiên và bị loại; tiếp tục đếm thì con số 1 bị loại, rồi đến con số 4. Con số 3 thắng.

Thuyền trưởng Crook và thủy thủ chia 10 thỏi vàng. Mỗi rương chứa nhiều nhất một thỏi và ai cũng thấy bên trong. Các xích nối rương tạo thành một cây. Hai bên luân phiên lấy một rương, thuyền trưởng đi trước. Khi có thể, phải chọn rương kề một rương đã lấy; nếu không mới được chọn tùy ý. Do đó thuyền trưởng được chọn rương đầu ở bất kỳ đâu. Các hình gốc minh họa luật này.

Thủy thủ có thể bố trí cây để thuyền trưởng lấy nhiều nhất một thỏi không? Nếu không, họ tối thiểu hóa phần thuyền trưởng có thể lấy như thế nào? Hãy giải thích đầy đủ chiến thuật.

Ở chuỗi minh họa thứ nhất, ba rương vàng xen kẽ hai rương rỗng; nếu bắt đầu tại rương vàng bên trái, thuyền trưởng lấy cả ba thỏi. Ở cây minh họa thứ hai, ông có thể chắc chắn lấy hai thỏi bằng cách bắt đầu tại rương vàng ngoài cùng bên trái hoặc ở giữa. Ở cây minh họa thứ ba, ông chỉ lấy được một thỏi. Các hình gốc bên dưới thể hiện ba cách bố trí này.