Ngân hàng câu hỏi xIMC 2010

Cho các số thực $p,q,r$ thỏa $p+q+r=26$, $1/p+1/q+1/r=31$. Tính $p/q+q/r+r/p+q/p+r/q+p/r$.

Tại bữa ăn từ thiện, mỗi người ăn nửa đĩa cơm, một phần ba đĩa rau và một phần tư đĩa thịt. Tổng cộng phục vụ sáu mươi lăm đĩa. Có bao nhiêu người?

Có bao nhiêu bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa $xyz=3^{2010}$, $x\le y\le z\lt x+y$?

$E$ trên cạnh $BC$ của hình chữ nhật $ABCD$. Gấp theo $AE$ đưa $B$ tới $F$ trên $CD$ như hình. Nếu $AD=16$ cm, $BE=10$ cm, tính $AE$ theo cm.

Số có bốn chữ số nhỏ nhất có đúng mười bốn ước dương, kể cả một và chính nó, với một ước nguyên tố có chữ số hàng đơn vị ba là số nào?

$f(x)$ là đa thức bậc bốn với $f(1)=f(2)=f(3)=0$, $f(4)=6$, $f(5)=72$. Tìm dư của $f(2010)$ khi chia mười.

Một đường tròn và hai nửa đường tròn đều bán kính một centimet tiếp xúc nhau trong hình vuông như hình. Tìm diện tích hình vuông theo centimet vuông.

Các số nguyên tố $p\ge q$ thỏa $p^3+q^3+1=p^2q^2$. Tìm giá trị lớn nhất $p+q$.

Tổng $n$ số nguyên dương, không nhất thiết khác nhau, là một trăm. Tổng bảy số bất kỳ nhỏ hơn mười lăm. Tìm $n$ nhỏ nhất.

$P$ trong tam giác $ABC$, $\angle ABP=20^\circ$, $\angle PBC=10^\circ$, $\angle ACP=20^\circ$, $\angle PCB=30^\circ$. Tính $\angle CAP$ theo độ.

Nông dân cho một trăm gà và một trăm lợn vào bốn ô chuồng gồm hai hàng, hai cột. Hàng đầu có một trăm hai mươi đầu, hàng hai ba trăm chân, cột đầu một trăm đầu, cột hai ba trăm hai mươi chân. Có bao nhiêu cách bố trí số lượng các loại?

Năm chuồng liên tiếp ghi từ trái qua: Sói đỏ, Sư tử bạc, Cáo nâu, Bò trắng, Ngựa xám. Các con vật thực là sói, sư tử, cáo, bò, ngựa với đúng năm màu đó. Không nhãn nào khớp con vật; không con vật nào ở trong hoặc cạnh chuồng có nhãn khớp loài hay màu của nó. Ngựa không ở chuồng giữa. Ngựa màu gì?

Một đoạn thẳng chia hình vuông thành hai đa giác, mỗi đa giác có đường tròn nội tiếp. Một đường tròn bán kính sáu centimet, đường kia lớn hơn. Tìm độ chênh lệch theo centimet giữa hai lần độ dài đoạn và cạnh hình vuông.

Các túi kẹo chứa sáu, chín hoặc hai mươi viên. Chỉ mua túi nguyên, số viên lớn nhất không thể mua đúng là bao nhiêu?

$S_n$ là tổng $n$ số hạng đầu của dãy $a_1,a_2,\ldots$, với $a_1=2010$. Nếu $S_n=n^2a_n$ với mọi $n$ nguyên dương, tìm $a_{2010}$.

Giải hệ với các số thực $w,x,y,z$: $$\begin{cases}w+8x+3y+5z=20,\\4w+7x+2y+3z=-20,\\6w+3x+8y+7z=20,\\7w+2x+7y+3z=-20.\end{cases}$$

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $AB$ là cạnh ngắn nhất và $CD$ dài nhất. Chứng minh $\angle A\gt \angle C$, $\angle B\gt \angle D$.

Các số nguyên $m\ge n$ thỏa $m^3+n^3+1=4mn$. Tìm giá trị lớn nhất $m-n$.

Sáu mươi bốn điểm lập thành lưới $8\times8$, hai điểm kề cùng hàng hay cột cách một centimet. Đếm mọi hình chữ nhật diện tích mười hai centimet vuông có bốn đỉnh là các điểm.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao có đúng một số nguyên dương $k$ thỏa $\frac8{15}\lt \frac{n}{n+k}\lt \frac7{13}$.