Ban tổ chức xếp bánh Buuz vào hộp nhỏ và hộp lớn, dung lượng là số nguyên dương. Hộp nhỏ chứa ít hơn một nửa hộp lớn. Một hộp lớn và một hộp nhỏ chứa 63 bánh. Một hộp lớn và hai hộp nhỏ chứa hai phần năm tổng bánh đã chuẩn bị. Khi xếp vào ba hộp lớn và hai hộp nhỏ thì còn thừa số nguyên dương $n$ bánh. Tính tổng mọi giá trị có thể của $n$.
Cho một ví dụ số nguyên dương $x$ sao cho $x,2x,3x,4x,5x$ đều là lũy thừa hoàn chỉnh và giải thích cách tìm. Lũy thừa hoàn chỉnh có dạng $a^i$, với $a,i$ nguyên dương, $i\gt1$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Các điểm $D,E\in BC$ thỏa $\angle BAD=20^\circ$, $\angle DAE=15^\circ$, $\angle EAC=20^\circ$. Biết $EC=4$ cm, tính $BD$, đơn vị cm.
Ban đầu bảng có $1,2,\ldots,33$. Mỗi bước xóa hai số, trong đó một số là bội của số kia, rồi ghi thương nguyên. Dừng khi không số nào là bội của số khác. Số lượng còn lại ít nhất là bao nhiêu?
A,B,C,D,E là tâm năm đường tròn bán kính 1 cm. $\angle ABC=90^\circ$, $\angle BAC=60^\circ$, $BC\parallel DE$. Các cặp (A,D),(B,D),(D,E),(E,C) tiếp xúc ngoài; mọi cặp khác không giao nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên các đường tròn là $a+\sqrt b+\sqrt c$ cm, với $a,b,c$ nguyên dương, $b\lt c$. Tìm $a+10b+100c$.
Vỉa hè dài nguyên $1\le N\le1000$. Lát lần lượt các viên dài Fibonacci 1,1,2,3,5,8,… bắt đầu từ số 1 đầu tiên. Khi viên kế dài hơn phần còn trống, bắt đầu lại từ số 1 đầu tiên. Mỗi lần bắt đầu hoặc bắt đầu lại là một chuỗi mới. Chọn N nhỏ nhất trong các N cần nhiều chuỗi nhất. Tổng cộng dùng bao nhiêu viên? Ví dụ N = 26 dùng 11 viên trong ba chuỗi: (1,1,2,3,5,8), (1,1,2), (1,1).
Tập con $S\subseteq\{1,2,\ldots,2026\}$ là tốt nếu bội chung nhỏ nhất của bất kỳ ba phần tử của nó cũng thuộc S. Ví dụ {3,9,12,36} là tốt. Tìm số phần tử nhiều nhất của một tập tốt.
Tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $AX,BY,CZ$. Đặt $P=XY\cap CZ$. Đường qua P song song AX cắt AC tại T và XZ tại Q. Gọi H là trực tâm, chứng minh $\angle HCB=\angle BCQ$.
