Các số $1,2,3,\ldots,20$ được viết thành một hàng theo một thứ tự ngẫu nhiên. Có $18$ tổng được tạo ra bằng cách cộng mỗi số (trừ số đầu tiên và số cuối cùng) với cả hai số kề nó (tức là ba số liên tiếp trong hàng). Số lượng tổng lẻ lớn nhất có thể thu được là bao nhiêu?
Monika có $5$ loại miếng ghép khác nhau, gọi là tetromino, có hình dạng như sau:
Mỗi miếng ghép gồm bốn hình vuông giống nhau có cạnh dài $1$ cm. Monika muốn ghép thành một hình chữ nhật, sử dụng số miếng ghép bằng nhau cho mỗi loại. Chu vi nhỏ nhất có thể có của hình chữ nhật, tính bằng cm, là bao nhiêu?
Thêm hai chữ số vào số $2021$, một chữ số ở bên trái và một chữ số ở bên phải, để tạo thành số có sáu chữ số $N$. Ví dụ, ta được số $820219$ nếu thêm $8$ ở bên trái và $9$ ở bên phải. Biết $N$ là bội của $28$, tổng các chữ số của $N$ có giá trị nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
Một phân số đã được viết ở dạng tối giản. Nếu cộng $22$ vào tử số thì phân số trở thành $\frac{1}{47}$. Nếu trừ $5$ khỏi mẫu số thì phân số trở thành $\frac{1}{96}$. Giá trị của phân số ban đầu là bao nhiêu?
Thị trấn $A$ và thị trấn $B$ được nối với nhau bằng một con đường duy nhất. Một xe buýt đỏ rời thị trấn $A$ lúc 6:20 sáng và đến thị trấn $B$ lúc 11:50 sáng. Một xe buýt xanh rời thị trấn $B$ lúc 3:35 sáng và đến thị trấn $A$ lúc 9:20 sáng. Nếu mỗi xe chạy với vận tốc không đổi và không dừng lại, hai xe sẽ gặp nhau lúc mấy giờ?
Một nữ nhiếp ảnh gia thiên nhiên đang đi trong rừng thì nhìn thấy một con cáo quý hiếm cách mình $100$ mét. Ngay lập tức, cáo chạy ra xa cô với vận tốc $6$ mét mỗi giây, còn cô bắt đầu chạy về phía cáo với vận tốc $10$ mét mỗi giây.
Cô có thể dừng lại và lấy máy ảnh ra bất cứ lúc nào, nhưng cần $5$ giây kể từ lúc dừng để chuẩn bị máy và chụp ảnh (trong thời gian đó cáo vẫn tiếp tục chạy). Nếu khi chụp cô phải cách cáo không quá $50$ mét để có bức ảnh đẹp, thì thời gian ngắn nhất, tính bằng giây, để cô có thể chụp được một bức ảnh đẹp của cáo là bao nhiêu?
Một đoàn du lịch gồm $48$ người sắp nhận phòng ở khách sạn. Ngoài $5$ phòng đã được một đoàn khác đặt, tất cả các phòng còn lại đều trống. Nếu dùng tất cả các phòng còn lại thì có thể bố trí không quá $5$ người trong mỗi phòng. Đột nhiên, đoàn kia hủy đặt phòng và $5$ phòng đó cũng có thể dành cho đoàn du lịch. Tuy nhiên, vẫn phải bố trí ít nhất $4$ người trong một số phòng. Khách sạn có tất cả bao nhiêu phòng?
Trong hình dưới đây, $WXYZ$ là một hình chữ nhật, điểm $R$ nằm trên $XY$ sao cho $XR=RY=7$ cm và điểm $B$ nằm trên $YZ$ sao cho $YB=4$ cm và $BZ=2$ cm. Nếu điểm $O$ là giao điểm của $RB$ và $YW$ thì diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $ROW$ là bao nhiêu?
Câu đố dưới đây gồm các hình tròn và mũi tên. Mũi tên nét đứt biểu thị phép cộng, còn mũi tên nét liền biểu thị phép nhân. Ví dụ, đáp án của hình bên trái là số bằng tổng $5+9$, tức là $14$. Đáp án của hình bên phải là số mà khi nhân với $6$ thì được $12$; tính ngược lại cho ta đáp án là $2$. Lưu ý rằng có thể có nhiều hơn $2$ mũi tên hướng vào một hình tròn; khi đó một phép tính (cộng hoặc nhân) được thực hiện với nhiều hơn $2$ số.
Trong câu đố dưới đây, nếu tất cả các hình tròn phải chứa các số nguyên dương, thì phải điền số nào vào hình tròn có dấu hỏi?
Số “$11$” có một tính chất thú vị: nó có thể được biểu diễn thành tổng của một lũy thừa với số mũ nguyên dương của $2$ và một lũy thừa với số mũ nguyên dương của $3$ theo hai cách khác nhau, cụ thể là $11=2^3+3^1=8+3$ và $11=2^1+3^2=2+9$.
Số nguyên có ba chữ số nhỏ nhất có tính chất thú vị này là bao nhiêu?
(Chú ý: các lũy thừa với số mũ nguyên dương của $2$ là $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $\ldots$, còn các lũy thừa với số mũ nguyên dương của $3$ là $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $\ldots$.)
Một hình chữ nhật $24\times60$ được chia thành các ô vuông đơn vị bằng cách kẻ các đường lưới. Nếu kẻ thêm một đường chéo của hình chữ nhật thì hình thu được sẽ có bao nhiêu phần?
Có $55$ học sinh tham gia một cuộc thi toán. Theo quy định, mỗi thí sinh nhận một dấu “※” cho mỗi câu trả lời đúng, một dấu “☆” cho mỗi câu trả lời sai và một dấu “○” cho mỗi câu không trả lời. Giả sử không có hai thí sinh nào vừa có cùng số dấu “※” vừa có cùng số dấu “☆”, thì cuộc thi có thể có ít nhất bao nhiêu câu hỏi?
Trong hình dưới đây, $ABCD$ là một hình bình hành có chu vi $54$ cm, $\angle DAB=60^\circ$ và $\angle DBC=90^\circ$. Độ dài $AB$, tính bằng cm, là bao nhiêu?
Một đa giác đều $n$ cạnh $A_1A_2A_3\ldots A_n$ nội tiếp một đường tròn tâm $O$. Nếu $\angle A_1OA_{16}=135^\circ$ thì tổng tất cả các giá trị có thể có của $n$ là bao nhiêu?
Bắt đầu từ một số nguyên dương $I$, trước hết ta sắp xếp lại các chữ số của nó rồi trừ $1$ để được $M$. Tiếp theo, ta lại sắp xếp các chữ số của $M$ rồi cộng $1$ để được $C$. Ví dụ, nếu $I=2358$, ta có thể được $C=2259$, $2358$ và $4284$ cùng nhiều giá trị khác. Có thể thu được bao nhiêu số nguyên $C$ khác nhau nếu $I=2267$?
Hình dưới đây là bàn cờ $9\times9$ có các ô vuông đơn vị tô đen hoặc trắng xen kẽ và cả bốn ô ở góc đều màu đen. Một quân tượng bị hạn chế cách đi bắt đầu ở một ô đen bất kỳ. Mỗi nước đi, nó chỉ được sang một ô đen kề theo đường chéo, không đi qua ô trắng. Cần ít nhất bao nhiêu nước đi để ghé qua tất cả các ô đen, không nhất thiết quay lại ô xuất phát? Hãy vẽ đường đi.
Đáp số: ___ nước đi. Vẽ đường đi trên bàn cờ trả lời gốc.
Cần cắt một tấm ván $1\times2021$ thành $2021$ ô vuông đơn vị. Mỗi lần, ta có thể cắt một tấm thành hai phần (không nhất thiết bằng nhau), hoặc cắt xuyên qua một chồng các tấm dài bằng nhau để chia mỗi tấm thành hai phần theo cùng một cách. Hãy hoàn thành việc này với số nhát cắt ít nhất có thể. Cần bao nhiêu nhát cắt? Mô tả đầy đủ quá trình cắt.
Người ta viết lên bảng một số số nguyên dương đầu tiên, bắt đầu từ “$1$”. Sau khi xóa một số, trung bình cộng của các số còn lại là $\frac{45}{4}$. Số nào đã bị xóa?
Một miếng nhựa mỏng hình tam giác nằm trên mặt phẳng có thể được lật nhiều lần qua bất kỳ cạnh nào của nó. Sau một số lần lật, nếu vị trí mới có một điểm trong chung với vị trí ban đầu thì hai tam giác phải trùng khít hoàn toàn.
Nếu các tam giác có các góc tương ứng bằng nhau được xem là cùng một loại tam giác, hãy tìm các góc của tất cả các loại tam giác có tính chất này.
(Chú ý: Số đáp án đúng trừ số đáp án sai là số đáp án đúng ròng; mỗi đáp án đúng ròng được $3$ điểm. Tìm đủ tất cả đáp án đúng và không có đáp án sai thì được $40$ điểm.)
