2023 BIMC keystage3-IWYMIC individual

Cho $x$ là một số thực và $y=\sqrt{3x+4}+\sqrt{4-3x}$. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $y^2$ là bao nhiêu?

Vẽ một đường tròn bán kính 1 cm tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác đều. Bắt đầu từ đường tròn này, vẽ ba dãy vô hạn các đường tròn nhỏ hơn, mỗi dãy ở một góc, sao cho mỗi đường tròn tiếp xúc với đường tròn trước nó và hai cạnh của tam giác, như hình dưới. Tổng chu vi của tất cả các đường tròn, tính bằng cm, là bao nhiêu? (Lấy $\pi=3.14$)

Cho $ABCDEF$ và $AGHIJK$ là hai lục giác đều không chồng lên nhau như hình dưới. Giả sử $\angle FAK=90^\circ$ và các diện tích thỏa mãn $3\times[AGHIJK]=4\times[ABCDEF]$. Tỉ số $[ABG]:[AGHIJK]$ là bao nhiêu?

(Chú ý: $[P]$ chỉ diện tích đa giác $P$.)

Số có 53 chữ số

37,984,318,966,591,152,105,649,545,470,741,788,308,402,068,827,142,719

có thể viết thành $n^{21}$, trong đó $n$ là số nguyên dương. Giá trị của $n$ là bao nhiêu?

Xét phương trình $10y^2-9x^{2022}=y^4$, trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên. Nếu $m$ là giá trị lớn nhất có thể của $x+y$, còn $n$ là số nghiệm $(x,y)$, thì $m+n$ bằng bao nhiêu?

Cho $a,b$ và $c$ là ba số thực khác không thỏa mãn $a+b+c=0$. Giá trị của
$$S=\frac{a^4}{a^4-(b^2-c^2)^2}+\frac{b^4}{b^4-(c^2-a^2)^2}+\frac{c^4}{c^4-(a^2-b^2)^2}?$$
là bao nhiêu?

Nếu một số có thể biểu diễn thành $2^a+2^b$, trong đó $a,b$ là các số nguyên không âm và $a\ne b$, thì số đó được gọi là “số may mắn”. Giả sử tất cả các số may mắn được liệt kê theo thứ tự tăng dần. Số may mắn thứ 64 là bao nhiêu?

Cho $ABC$ là tam giác đều có diện tích 36 cm$^2$, và $EFD$ là tam giác cân với $EF=FD$. Điểm $F$ là tâm tam giác $ABC$, còn các điểm $B$ và $C$ lần lượt là trung điểm của $EF$ và $FD$, như hình dưới. Nếu $BG\perp EF$ và $CH\perp DF$, diện tích phần tô màu, tính bằng cm$^2$, là bao nhiêu?

Một công ty rất bí mật phát triển một cỗ máy công nghệ cao. Cần 20 bản thiết kế khác nhau để chế tạo máy. Mỗi nhân viên được tiếp cận đúng 5 bản thiết kế khác nhau, và mỗi nhóm 5 bản thiết kế khác nhau đều có ít nhất một nhân viên được tiếp cận cả nhóm đó. Giám đốc muốn phân nhân viên vào các phòng ban sao cho không phòng ban nào có thể tự chế tạo máy. Nghĩa là không được có phòng ban mà mỗi bản thiết kế đều được ít nhất một thành viên của phòng tiếp cận. Số phòng ban ít nhất giám đốc cần lập là bao nhiêu?

Một hình V-Tromino được tạo bởi ba ô vuông $1\times1$, như các hình dưới:



Tất cả các hình V-Tromino phải đặt khớp với các ô của bảng. Cần đặt ít nhất bao nhiêu hình V-Tromino trên một bảng $8\times8$ để không thể đặt thêm một hình vuông $2\times2$ vào phần trống còn lại?

Có 17 hộp rỗng và nguồn bóng vô hạn. Ở mỗi bước, ta chọn một số hộp, rồi bỏ vào mỗi hộp được chọn một số bóng khác nhau, trong đó mỗi số phải là một lũy thừa của 2 (kể cả 2 mũ 0). Sau $k$ bước, có thể làm cho tất cả các hộp chứa cùng một số bóng khác không. Số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để thực hiện điều đó là bao nhiêu?

Hình dưới thể hiện một mê cung ngầm có dạng hình vuông $4\times4$. Một con rắn ban đầu ở vị trí $P$, bắt đầu bò theo đường P-Q-R-S theo vòng lặp. Một con chuột ban đầu ở vị trí $A$, phải đi qua mê cung đến vị trí $B$. Chuột chỉ được đi thẳng đứng lên trên hoặc nằm ngang sang phải. Nếu rắn và chuột đến cùng vị trí vào cùng thời điểm, rắn sẽ ăn chuột; nếu hai con đi cắt qua nhau trên một đoạn đường, rắn cũng sẽ ăn chuột (rắn và chuột di chuyển với cùng vận tốc). Biết chuột và rắn bắt đầu di chuyển cùng lúc, có bao nhiêu đường đi an toàn cho chuột từ $A$ đến $B$?

(Ví dụ, A-C-D-E-R-G-H-I-B là đường đi an toàn cho chuột, vì khi chuột đến $R$, rắn sẽ ở điểm $P$)

Phương trình $x^2-8[x]+7=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Chú ý: $[x]$ chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Ví dụ, $[3.14]=3$ và $[-3.14]=-4$.

Yêu cầu Phần B: Trình bày lời giải chi tiết. Mỗi câu 20 điểm.

Xét một lục giác đều. Paul muốn tô mỗi đỉnh của lục giác bằng màu xanh lá, đỏ hoặc xanh lam, sao cho không có hai đỉnh kề nhau cùng màu. Paul có tổng cộng bao nhiêu cách tô như vậy?

Yêu cầu Phần B: Trình bày lời giải chi tiết. Mỗi câu 20 điểm.

Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đi qua các điểm $A$ và $C$, tiếp xúc với đường thẳng $AM$. Phần kéo dài của $BA$ cắt đường tròn tại $D$, và phần kéo dài của $CD$ cắt phần kéo dài của $MA$ tại $P$, như hình dưới. Chứng minh rằng $OP\perp BC$.



Yêu cầu Phần B: Trình bày lời giải chi tiết. Mỗi câu 20 điểm.