Ngân hàng câu hỏi xIMC 2022

Hình bên phải gồm sáu tam giác đều giống nhau và một hình lục giác đều, trong đó tỉ số độ dài cạnh của tam giác đều với độ dài cạnh của hình lục giác đều là $2:1$. Nếu diện tích toàn bộ hình là $45$ cm$^2$, thì diện tích hình lục giác đều bằng bao nhiêu cm$^2$?

Tại một cửa hàng văn phòng phẩm, giá tiền tính bằng đô-la của một quyển vở là một số nguyên. Mua chín quyển vở giống nhau hết hơn $1100$ nhưng ít hơn $1200$ đô-la, còn mua mười ba quyển vở giống nhau hết hơn $1500$ nhưng ít hơn $1600$ đô-la. Một quyển vở giá bao nhiêu đô-la?

Điểm trung bình trong một bài thi của một lớp có $100$ học sinh là $79$. Điểm trung bình của tất cả học sinh nữ trong lớp là $75$, còn điểm trung bình của tất cả học sinh nam bằng đúng số học sinh nam trong lớp. Hỏi lớp có tất cả bao nhiêu học sinh nữ?

Hình vẽ là một hình “chữ L” được ghép từ các ô vuông đơn vị $1\times1$. Kitty cắt hình theo các đường kẻ ô để được hai mảnh. Sau đó bạn dùng hai mảnh này ghép thành một hình chữ nhật $2\times6$, được phép xoay hoặc lật các mảnh. Hiệu dương nhỏ nhất giữa diện tích của hai mảnh, tính theo ô vuông đơn vị, là bao nhiêu?

Ở Indonesia có tám núi lửa lớn và sáu núi lửa nhỏ. Các núi lửa lớn phun trào ba năm một lần, còn các núi lửa nhỏ phun trào hai năm một lần. Nếu trong năm năm vừa qua có $30$ lần phun trào, thì năm nay có bao nhiêu núi lửa sẽ phun trào?

Hình bên trái dưới đây được ghép từ năm bản sao của miếng ghép bên phải và một tam giác đơn vị:



Có bao nhiêu vị trí đặt tam giác đơn vị trên bảng sao cho phần còn lại được phủ kín bằng $5$ miếng ghép?

(Lưu ý: Được phép xoay hoặc lật các miếng ghép).

Trong một cuộc thi Toán, điểm của $10$ học sinh đều là số nguyên dương và được cho trong bảng dưới đây, trừ điểm của Grace.



| Học sinh | Điểm |
|---|---:|
| Alice | 23 |
| Bob | 6 |
| Carla | 14 |
| David | 13 |
| Eric | 23 |
| Freya | 9 |
| Grace | ? |
| Helen | 12 |
| Ivory | 29 |
| Jordan | 19 |

Ban tổ chức nhớ rằng hiệu giữa điểm trung bình của sáu điểm cao nhất và điểm trung bình của sáu điểm thấp nhất là $12$. Tổng tất cả các giá trị có thể có của điểm Grace là bao nhiêu?

Trong bảng $3\times3$ dưới đây, một số ô đã được điền các số nguyên dương:



Ta muốn điền một số nguyên dương vào mỗi ô trống còn lại sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

- Cả chín số nguyên trên bảng phải đôi một khác nhau.
- Tổng bốn số trong mỗi hình vuông $2\times2$ đều bằng nhau.

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng chín số nguyên trên bảng.

Có năm đường nét đứt nằm ngang song song, với khoảng cách giữa hai đường nét đứt kề nhau là $8$ cm, như hình dưới đây. Nếu đoạn thẳng trên đường nét đứt ở giữa dài $10$ cm, thì diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu cm$^2$?

Cho
$$A=\frac{2021^{2022}+2022^{2023}+2023^{2024}}{2021^{2021}+2022^{2022}+2023^{2023}}.$$
Số nguyên lớn nhất không vượt quá $A$ là bao nhiêu?

Thuyền trưởng Crook và năm thành viên trong đội ngồi quanh một chiếc bàn tròn, chia nhau $99$ đồng xu. Nếu ít nhất ba trong năm thành viên ấy có nhiều xu hơn mỗi người trong hai người ngồi bên cạnh mình, thì thuyền trưởng Crook có thể có nhiều nhất bao nhiêu đồng xu?

Giả sử $\overline{ABC}$, $\overline{DEF}$ và $\overline{GHI}$ là các số có ba chữ số sao cho

- $\overline{ABC}+\overline{DEF}+\overline{GHI}=2022$,
- Cả chín chữ số đều đôi một khác nhau, và
- $\overline{ABC}<\overline{DEF}<\overline{GHI}$.

Giá trị lớn nhất có thể của $\overline{ABC}$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, $ABC$ là một tam giác có $AB=AC$ và $\angle BAC=90^\circ$. Các điểm $D$ và $E$ nằm trên $BC$ sao cho $\angle DAE=45^\circ$. Nếu $BD=5$ cm và $EC=12$ cm, thì diện tích, tính bằng cm$^2$, của tam giác $ABC$ là bao nhiêu?

Ta muốn bỏ đi một số phần tử của tập hợp sau:
$$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$$
sao cho tích các số còn lại là bội của từng số trong các số $1,2,3,\ldots,14,15$. Có thể bỏ đi nhiều nhất bao nhiêu số?

Ta muốn đặt các ngôi sao vào các ô đơn vị của bảng $6\times6$ dưới đây sao cho số ghi phía trên mỗi cột bằng tổng số ngôi sao trong cột đó, còn số ghi bên trái mỗi hàng bằng tổng số ngôi sao trong hàng đó. Có bao nhiêu cách đặt các ngôi sao khác nhau? (Lưu ý: Mỗi ô chứa nhiều nhất một ngôi sao.)

Vào đêm giao thừa, một nhóm trẻ tụ tập để chơi một trò chơi toán học đơn giản. Bạn đầu tiên viết $2022$ lên bảng. Bạn thứ hai và mỗi bạn tiếp theo thay số mà bạn trước đã viết bằng tích các chữ số của số đó cộng với $12$. Bạn thứ $59$ viết số nào?

Trong mỗi ô của bảng dưới đây, hãy viết đúng một trong các số $1$, $2$, $3$ hoặc $4$ sao cho:

**(a)** Trong mỗi hàng và mỗi cột, bốn số được viết đôi một khác nhau;

**(b)** Với mỗi vùng được viền đậm, tổng hoặc tích của các số trong vùng bằng $12$.

Hãy giải thích cách làm.



Bảng trả lời:

Điền vào bảng vô hạn các số $1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,\ldots$ (lặp lại các số từ $1$ đến $7$) theo đường xoắn ốc ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ ô được tô màu như hình dưới đây. Số nào được viết vào ô cách ô được tô màu $2022$ ô về phía dưới?

Chọn một số nguyên dương $n$ rồi viết các số nguyên từ $0$ đến $n$, kể cả hai đầu, theo một thứ tự nào đó và không có khoảng trắng.

Giá trị nhỏ nhất của $n$ để chuỗi thu được đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều giống nhau là bao nhiêu? Chuỗi đó là gì?

Giá trị nhỏ nhất của $n$ là ______.

Một chuỗi thỏa mãn là ______.

Một số nguyên dương có bốn chữ số được gọi là “tốt” nếu gồm hai cặp chữ số giống nhau theo một thứ tự nào đó, nhưng không phải cả bốn chữ số đều giống nhau. Chẳng hạn, các số $2211$, $2424$ và $7007$ là tốt, còn $5555$ và $3111$ thì không. Tìm tổng số các số nguyên dương tốt có bốn chữ số chia hết cho $7$ hoặc $101$, nhưng không chia hết cho cả hai.