Ngân hàng câu hỏi xIMC 2015

Tìm số có bốn chữ số nhỏ nhất có số ước dương bằng số ước dương của $2015$.

Mỗi học sinh được yêu cầu bỏ đi ba số trong hai mươi mốt số nguyên dương đầu tiên $(1,2,3,\ldots,21)$ rồi tính tổng mười tám số còn lại. Ba số mà mỗi học sinh bỏ đi có chứa hai số liên tiếp, và không có hai học sinh nào bỏ đi cùng một bộ ba số. Nhiều nhất có bao nhiêu học sinh có thể tính đúng được kết quả $212$?

$ABCD$ là một ngôi nhà hình chữ nhật. Một hàng rào kéo dài $AB$ đến $E$, với $BE=80$ m. Một hàng rào kéo dài $BC$ đến $F$, với $CF=70$ m. Một hàng rào kéo dài $CD$ đến $G$, với $DG=50$ m. Một hàng rào kéo dài $DA$ đến $H$, với $AH=90$ m. Các hàng rào qua $E$ và $G$ song song với $AD$ cùng các hàng rào qua $F$ và $H$ song song với $AB$ được xây dựng, bao quanh một khu đất hình chữ nhật gồm bốn vườn hình chữ nhật quanh ngôi nhà. Tổng chu vi của bốn khu vườn là $2016$ m. Chu vi ngôi nhà bằng bao nhiêu m?

Một cộng đồng được chia thành các tổ chức; mỗi tổ chức được chia thành các hiệp hội; mỗi hiệp hội được chia thành các hội; và mỗi hội được chia thành các câu lạc bộ. Số câu lạc bộ trong mỗi hội, số hội trong mỗi hiệp hội và số hiệp hội trong mỗi tổ chức đều bằng cùng một số nguyên lớn hơn $1$. Cộng đồng có một chủ tịch; mỗi tổ chức, hiệp hội, hội và câu lạc bộ cũng đều có một chủ tịch. Nếu có tất cả $161$ chức vụ chủ tịch thì cộng đồng này có bao nhiêu tổ chức?

Mỗi máy $A$ và $B$ có thể sản xuất một chai mỗi phút. Máy $A$ phải nghỉ một phút sau khi sản xuất $3$ chai, còn máy $B$ phải nghỉ $1.5$ phút sau khi sản xuất $5$ chai. Hai máy cần ít nhất bao nhiêu phút để cùng sản xuất được $2015$ chai?

Sáu chữ số $1,2,3,4,5$ và $6$ được dùng để lập một số có một chữ số, một số có hai chữ số và một số có ba chữ số. Mỗi chữ số chỉ được dùng một lần và phải dùng đủ cả sáu chữ số. Tổng của số có một chữ số và số có hai chữ số là $47$, còn tổng của số có hai chữ số và số có ba chữ số là $358$. Tìm tổng của cả ba số.

$E$ là một điểm trên cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$ sao cho $BE=20$ cm và $CE=28$ cm. $P$ là một điểm trên đường chéo $BD$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $PE+PC$, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Trong một nhóm các số nguyên dương phân biệt, số lớn nhất nhỏ hơn $36$ và bằng ba lần số nhỏ nhất. Số nhỏ nhất bằng hai phần ba trung bình cộng của cả nhóm. Nhóm này có nhiều nhất bao nhiêu số?

Hình dưới đây cho thấy hình nhìn từ trên xuống của một cấu trúc gồm chín chồng khối lập phương đơn vị. Số khối lập phương trong mỗi chồng được ghi trên hình. Mỗi chồng được xếp từ đáy lên, không có khoảng trống. Toàn bộ bề mặt ngoài, kể cả chín hình vuông $1$ nhân $1$ ở đáy, đều được sơn. Có tất cả bao nhiêu mặt vuông $1$ nhân $1$ được sơn?

Bốn số khác nhau, mỗi số có ba chữ số, có cùng tổng các chữ số, và tổng của bốn số đó là $2015$. Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể của tổng chữ số chung của bốn số.

Có ba số nguyên dương. Số thứ nhất có hai chữ số giống nhau. Số thứ hai có hai chữ số khác nhau và chữ số hàng đơn vị giống chữ số của số thứ nhất. Số thứ ba có một chữ số, cũng chính là chữ số hàng chục của số thứ hai. Đúng hai trong ba số này là số nguyên tố. Có bao nhiêu cách khác nhau để chọn ba số nguyên dương đó?

Một số nguyên dương được chia cho $5$; thương và số dư được ghi lại. Cùng số đó được chia cho $3$; thương và số dư lại được ghi lại. Nếu cả hai lần đều ghi được cùng hai số nhưng theo thứ tự ngược nhau, hãy tìm tích của tất cả các giá trị có thể của số ban đầu.

$E$ là một điểm trên cạnh $AB$ của hình chữ nhật $ABCD$ sao cho $AE=2EB$, và $Z$ là trung điểm của cạnh $BC$. $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $DE$ và $DZ$. Nếu diện tích tam giác $EMN$ là $5$ cm$^2$, hãy tính diện tích, theo cm$^2$, của ngũ giác $MEBZN$.

Có bao nhiêu cách chia các số $1,2,3,\ldots,12$ thành bốn nhóm, mỗi nhóm gồm ba số có tổng chia hết cho $3$?

Một số trong $1,2,3,\ldots,19$ được gọi là số theo sau của một số thứ hai trong $1,2,3,\ldots,19$ nếu số thứ hai lớn hơn số thứ nhất từ $10$ đến $18$, hoặc số thứ nhất lớn hơn số thứ hai từ $1$ đến $9$. Do đó $6$ là số theo sau của $16,17,18,19,1,2,3,4$ và $5$. Có bao nhiêu cách chọn ba số trong $1,2,3,\ldots,19$ sao cho số thứ nhất theo sau số thứ hai, số thứ hai theo sau số thứ ba, và số thứ nhất cũng theo sau số thứ ba?

Trong bảng $9\times9$ ở hình dưới đây, một số ô được tô xám. Đánh dấu “X” vào $9$ ô sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi bảng con trong chín bảng con $3\times3$ được xác định bởi các đường đôi đều có một ô được đánh dấu. Không được đánh dấu vào ô tô xám.

Một tờ giấy $14\times23$ được chia bằng các đường lưới thành các ô vuông $1\times1$. Ta muốn cắt ra các mảnh giấy hình vuông có kích thước khác nhau theo các đường lưới. Có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu mảnh? Chứng minh không thể có số lượng lớn hơn và đưa ra một ví dụ cho thấy đạt được đáp án của em.

Có một máy với năm khe. Mỗi khe có thể nhận hai thẻ làm đầu vào và trong phần lớn trường hợp sẽ tạo ra một thẻ mới làm đầu ra. Mọi thẻ đều mang số nguyên dương. Đầu ra của các khe $+,-,\times$ hoặc $\div$ lần lượt là tổng, hiệu, tích hoặc thương. Nếu hiệu hoặc thương không phải số nguyên dương thì không có đầu ra. Đầu ra của khe $\sim$ là số nhận được bằng cách viết số đầu vào thứ hai ngay sau số đầu vào thứ nhất. Ví dụ, ta được $102$ nếu đưa vào $10$ và $2$, hoặc $210$ nếu đưa vào $2$ và $10$. Tất cả thẻ đầu vào đều được trả lại. Bắt đầu với hai thẻ mang số $1$ và $2$, hãy tìm một cách tạo ra thẻ mang số $2015$ bằng cách chỉ dùng máy năm lần. Mỗi lần dùng một khe được tính là một phép toán riêng.

Trong mỗi hàng của mẫu trả lời năm hàng, ghi hai thẻ đầu vào, khe và thẻ đầu ra.

Hai mươi con thỏ nhảy dọc cùng một đường theo cùng một hướng, mỗi con có một tốc độ không đổi khác nhau. Con thứ nhất rời điểm xuất phát lúc giữa trưa. Mỗi con còn lại xuất phát sau con ngay trước nó một phút. Con thứ hai đuổi kịp con thứ nhất hai phút sau khi nó bắt đầu nhảy. Con thứ ba đuổi kịp con thứ hai ba phút sau khi nó bắt đầu nhảy. Quy luật tiếp tục như vậy, nên con thứ hai mươi đuổi kịp con thứ mười chín hai mươi phút sau khi nó bắt đầu nhảy. Con thứ hai mươi đuổi kịp con thứ nhất vào thời điểm bao nhiêu phút sau giữa trưa?

Hình dưới đây gồm mười hình tròn, mỗi hình có bán kính dài $1$ cm. Bốn hình tròn ở hàng trước tiếp xúc với các hình bên cạnh và có tâm nằm trên cùng một đường thẳng. Với mỗi hình trong sáu hình tròn phía sau, nửa đường tròn phía trên đi từ điểm cao nhất của một hình tròn đến điểm cao nhất của hình tròn kế bên trong hàng ngay trước nó. Tính diện tích hình, theo cm$^2$, không tính bốn hình tròn ở hàng trước. Có thể lấy $\pi$ bằng $3.14$.