Ngân hàng câu hỏi xIMC 2012

Tìm hiệu lớn nhất của hai số nguyên dương có tổng hai nghìn ba mươi bốn và tích là bội của tổng đó.

Nửa đường tròn đặt trên hình vuông, tiếp xúc hai cạnh nghiêng của tam giác đều như hình; đáy tam giác và hình vuông nằm cùng đường thẳng. Cạnh tam giác mười hai centimet, tìm bán kính nửa đường tròn.

Tìm bội bốn chữ số $\overline{abcd}$ của mười một nhỏ thứ hai, thỏa $b+c=a$ và số hai chữ số $\overline{bc}$ là chính phương nguyên.

Tam giác đều $ABC$ có diện tích $8+4\sqrt3$ centimet vuông. $M$ là trung điểm $BC$. Phân giác $\angle MAB$ gặp $BM$ tại $N$. Tìm diện tích $ABN$.

Lỗ $2\times6$ trên tường được lấp bằng gạch vuông đơn vị đỏ, trắng hoặc xanh. Không hai viên cùng màu chung cạnh. Đếm mọi cách lấp.

Có bao nhiêu ước dương chính phương của $1^9\cdot2^8\cdot3^7\cdot4^6\cdot5^5\cdot6^4\cdot7^3\cdot8^2\cdot9$?

Có bao nhiêu số nguyên dương không quá hai mươi triệu một trăm mười hai nghìn mười hai chỉ dùng chữ số không, một, hai?

Các điểm $A,B,C,D$ trên đường tròn. $E$ trên phần kéo dài $BA$, $AD$ phân giác $\angle CAE$. $F$ trên $AC$, $DF\perp AC$. Nếu $BA=AF=2$ cm, tính $AC$.

Mỗi chữ số của số bốn chữ số $\overline{abcd}$ là một, hai, ba hoặc bốn. Trong hai trăm năm mươi sáu khả năng, bao nhiêu có $ad-bc$ chẵn?

Hai mươi bốn điểm cách đều trên đường tròn. Có bao nhiêu tam giác đều có ít nhất hai đỉnh là các điểm đó? Đỉnh thứ ba không bắt buộc trên đường tròn.

Quạt tròn $OAB$ là một phần sáu đường tròn. Đường tròn bên trong tiếp xúc $OA,OB$ và cung $AB$ như hình. Diện tích nó bằng phần nào diện tích quạt?

Ba phi tiêu giống nhau trúng ba ô khác nhau của bàn cờ $8\times8$. Mỗi cặp ô trúng có ít nhất một đỉnh chung. Có bao nhiêu tập ô có thể trúng?

Tìm phần nguyên của $$\sqrt{2012\sqrt{2013\sqrt{\cdots\sqrt{(2012^2-2)\sqrt{(2012^2-1)\sqrt{2012^2}}}}}}.$$ Các hệ số nguyên tăng từng đơn vị tới giá trị trong cùng $2012^2$.

Các số nguyên dương $m,n$ thỏa $n^2\lt 8m\lt n^2+60(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$. Tìm $n$ lớn nhất.

Trong tam giác $ABC$, $\angle A=90^\circ$, $\angle B=20^\circ$. $E,F$ trên $AC,AB$, với $\angle ABE=10^\circ$, $\angle ACF=30^\circ$. Tính $\angle CFE$.

Cho một số thực dương. Mỗi bước cộng ba, trừ ba, nhân ba hoặc chia ba. Tìm mọi số ban đầu có thể trở lại chính nó sau đúng ba bước.

Tám người có tuổi trung bình mười lăm; mọi tuổi là số nguyên tố. Tuổi mười chín xuất hiện nhiều hơn mọi tuổi khác. Khi xếp tăng dần, hai tuổi giữa trung bình mười một. Tìm tuổi lớn nhất có thể của người lớn tuổi nhất.

Các số một đến chín nằm trong chín lục giác trên ba cạnh tam giác, ban đầu mỗi cạnh tổng mười chín. Hoán vị sao cho ba tổng vẫn bằng nhau. Tìm tổng chung nhỏ nhất và lớn nhất.

Hai nghìn không trăm mười hai điểm cách đều trên một đường thẳng được tô cam hoặc xanh. Nếu ba điểm $A,B,C$ thỏa $AB=BC$, cả ba phải cùng màu. Đếm mọi cách tô.

Ba cách tách $2|012$, $20|12$, $201|2$ của số hai nghìn không trăm mười hai cho tổng tích $2\cdot012+20\cdot12+201\cdot2=666$. Tìm mọi số bốn chữ số khác có tính chất đó.