2026 IMC keystage3-IWYMIC individual

Tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo giao tại $O$. Biết $[AOB]=144\ \mathrm{cm}^2$, $[COD]=169\ \mathrm{cm}^2$. Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác, đơn vị $\mathrm{cm}^2$.

Một gia đình du mục có 31 tấm thảm nỉ giống nhau. Họ phân một phần hoặc toàn bộ vào lều mùa hè và lều mùa đông, mỗi lều ít nhất 2 tấm. Có bao nhiêu cách phân?

Khai triển và thu gọn $(-x_1+x_2+x_3+x_4)^4+(x_1-x_2+x_3+x_4)^4+(x_1+x_2-x_3+x_4)^4+(x_1+x_2+x_3-x_4)^4$. Hệ số nhỏ nhất là bao nhiêu?

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Đặt $X=(2a+b+c)(b+c)+c^2$, $Y=(a+2b+c)(a+c)+a^2$, $Z=(a+b+2c)(a+b)+b^2$. Biết $X+Y+Z=12$, tính $(a^3+b^3+c^3-8)/[(2-a)(2-b)(2-c)]$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(a,b)$ thỏa $ab+57=29\gcd(a,b)+2\operatorname{lcm}(a,b)$? gcd là ước chung lớn nhất, lcm là bội chung nhỏ nhất.

$ABCD$ là hình thoi, $\angle D=52^\circ$. $M$ là trung điểm $DC$, $E\in BM$ và $AE\perp BM$. Tính $\angle BEC$ theo độ.

Thay đúng một chữ số trong $435\times605$ bằng chữ số khác để tích bằng $N^2$, với $N$ nguyên dương. Tìm $N$.

Người bán có bảy loại hàng: deel (áo truyền thống), airag (sữa ngựa), morin khuur (đàn đầu ngựa), shirdeg (thảm nỉ), gutal (ủng da), malgai (mũ), boortsog (bánh chiên). Một gói nhỏ là tập con không rỗng, mỗi loại chỉ xuất hiện một lần. Một ưu đãi gồm hai gói nhỏ không chung loại hàng; không phân biệt thứ tự hai gói. Có bao nhiêu ưu đãi?

Ví dụ {(deel, airag, shirdeg), (morin khuur, gutal)} giống cặp đảo thứ tự, nhưng khác {(deel, airag, morin khuur), (shirdeg, gutal)}.

Ba số nguyên có ba chữ số $A\lt B\lt C$ dùng tổng cộng chín chữ số khác nhau, và $A+B+C=2026$. Tìm $C$ nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất trên số thực của $f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-10x+34}$.

Tám huy chương mang số 0–7 được xếp vòng tròn. Hai huy chương kề nhau phải chênh nhau một số nguyên tố (2,3,5 hoặc 7). Hai cách xếp được coi là giống nhau nếu xoay một cách để trùng cách kia. Có bao nhiêu cách mở khóa?

Trong tam giác $ABC$, $E\in BC,F\in AC$ và $AE\cap BF=D$. Khoảng cách vuông góc từ $E,D,C$ tới $AB$ lần lượt là 7,5,11 cm. Tìm khoảng cách vuông góc từ $F$ tới $AB$, đơn vị cm.

Lát bảng $2\times2026$ bằng domino $2\times1$. Gọi $a$ là số cách lát không có hai domino đứng chung cạnh, như hình. Tìm số dư của $a$ khi chia 6.

Dải ô vuông vô hạn có một quả bóng mỗi ô và lặp tuần hoàn một hoán vị $a_1\ldots a_n$ của $1,\ldots,n$, $n\ge3$. Mỗi bóng nhảy sang phải số ô ghi ở ô xuất phát. Mẫu không va chạm nếu không ô nào nhận hai bóng. Các mẫu 123,231,312 không va chạm, còn 213 thì có. Các phép dịch vòng là cùng một mẫu, nên với n = 3 chỉ có một mẫu. Với n = 5 có bao nhiêu mẫu không va chạm? Phải giải thích đầy đủ, chỉ liệt kê mẫu không đủ.

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $BD$ là phân giác $\angle ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $ABC$ cắt lại $AD,CD$ tại $P,Q$. Đường qua $D$ song song $AC$ cắt các phần kéo dài $BC,AB$ tại $R,S$. Chứng minh $P,Q,R,S$ cùng nằm trên một đường tròn.