Diện tích, tính bằng cm$^2$, của hình tô màu (hình con bò) được tạo bởi sáu cung bằng nhau (lần lượt là $a,b,c,d,e,f$) và mười lăm đoạn thẳng là bao nhiêu, biết cạnh mỗi ô vuông đơn vị dài $1$ cm và cả sáu cung đều nằm trong các hình chữ nhật $1\times3$ hoặc $3\times1$?
Ba mươi học sinh thuộc năm lớp của một trường quyết định tham gia hoạt động “Quyên góp một cuốn sách” và mang tổng cộng $40$ cuốn sách đến thư viện. Các học sinh cùng lớp mang số sách bằng nhau, còn các học sinh khác lớp mang số sách khác nhau. Nếu mỗi học sinh quyên góp ít nhất một cuốn sách, hỏi có bao nhiêu học sinh quyên góp đúng một cuốn sách?
Tích của năm số nguyên dương liên tiếp gấp $120$ lần số $\overline{ABABAB}$, trong đó $A$ và $B$ là các chữ số khác không. Số lớn nhất trong năm số đó là bao nhiêu?
Số chính phương là bình phương của một số nguyên. Có bao nhiêu số nguyên từ $1$ đến $2023$ không phải số chính phương nhưng mọi chữ số của chúng đều là số chính phương?
Ông Sun đang đi trên một chiếc xe buýt cũ chạy với vận tốc không đổi trên một con đường có các cột mốc ki-lô-mét, cho biết khoảng cách tính bằng ki-lô-mét từ đầu đường. Hai cột mốc minh họa được cho dưới đây. Ngay trước khi ngủ, ông thấy xe đi qua một cột mốc ghi số có hai chữ số. Đúng một giờ sau, ông mở mắt và thấy xe đi qua cột mốc ghi số có ba chữ số. Ông nhớ rằng: chữ số đầu của số này bằng chữ số thứ hai của số đã thấy trước khi ngủ; chữ số thứ hai của số có ba chữ số là $0$; và chữ số thứ ba bằng chữ số đầu của số đã thấy trước khi ngủ. Sau đó ông ngủ thêm đúng hai giờ rồi thức dậy, khi xe đang đi qua một cột mốc ghi số gần giống số thứ hai, chỉ khác là chữ số thứ hai đã được thay bằng một chữ số khác. Vận tốc của xe buýt, tính bằng km/h, là bao nhiêu?
Alex có một tờ giấy lớn rộng $6$ cm và dài $94$ cm. Bạn muốn cắt từ tờ giấy này nhiều hình chữ nhật nhất có thể sao cho mỗi hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số nguyên tính bằng cm và chu vi $20$ cm. Số hình chữ nhật lớn nhất bạn có thể cắt được là bao nhiêu?
**Chú thích đã được người dùng chấp thuận (điều kiện bổ sung, không phải lời văn nguồn chính thức):**
Mỗi cạnh của từng hình chữ nhật được cắt phải song song với một cạnh của tờ giấy ban đầu.
Allen, Bob và Cindy đi bộ quanh một đường mòn ven hồ hình tròn. Họ bắt đầu đi từ cùng một vị trí vào cùng một thời điểm. Bob đi theo chiều kim đồng hồ, còn Cindy và Allen đi ngược chiều kim đồng hồ. Cả ba đều đi với vận tốc không đổi. Sau một lúc, Bob gặp Cindy lần đầu. Rồi $3$ phút sau, Bob gặp Allen. Cuối cùng, sau thêm $14$ phút nữa, Bob gặp Cindy lần thứ hai. Biết vận tốc của Cindy bằng $\frac34$ vận tốc của Bob và đường mòn quanh hồ dài $2023$ mét. Sau lần Bob gặp Cindy đầu tiên bao nhiêu phút thì Bob gặp Allen lần thứ hai?
**Chú thích đã được người dùng chấp thuận (điều kiện bổ sung, không phải lời văn nguồn chính thức):**
Lần Bob gặp Allen được kể là xảy ra 3 phút sau lần đầu Bob gặp Cindy chính là lần đầu Bob và Allen gặp nhau sau khi xuất phát.
Hai dây vuông góc của một đường tròn, $AB$ và $CD$, cắt nhau tại điểm $E$, như hình dưới. Nếu $AE=28$ cm, $EB=84$ cm và $CE=42$ cm, thì diện tích đường tròn, tính bằng cm$^2$, là bao nhiêu? (Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.)
Hình dưới là bản đồ tất cả các con đường trong một thành phố. Khoảng cách ngắn nhất từ $A$ đến $B$, tính bằng km, khi chỉ đi theo các con đường này là bao nhiêu?
Mỗi hành khách trên tàu có một vé. Các vé được đánh số bằng những số liên tiếp có $6$ chữ số, bắt đầu từ một số lớn hơn hoặc bằng $100000$. Biết số hành khách có số vé tận cùng bằng $23$ đúng bằng $\frac{1}{108}$ tổng số hành khách. Số hành khách lớn nhất có thể có trên tàu là bao nhiêu?
Có một dãy số nguyên dương. Số hạng đầu của dãy là $1$, số hạng thứ hai là $2$, số hạng thứ ba là $3$, và bình phương của mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng tổng của hai số hạng kề nó. Chẳng hạn, với số hạng thứ hai ta có: $2^2=1+3$. Số dư khi chia số hạng thứ $2023$ cho $11$ là bao nhiêu?
Cho $ABCD$ là một hình vuông, điểm $E$ nằm trên phần kéo dài của $CB$ sao cho $\angle BAE=30^\circ$, và điểm $G$ nằm trên $AD$ sao cho $\angle BCG=60^\circ$, như hình dưới. Nếu diện tích tam giác $CGF$ là $X$ và diện tích tam giác $BEF$ là $Y$, thì tỉ số $X:Y$ bằng bao nhiêu?
Mỗi ô của một bảng $100\times100$ được tô bằng một trong $20$ màu. Một ô được gọi là cô đơn nếu màu của nó khác màu của mọi ô khác trong cùng hàng và khác màu của mọi ô khác trong cùng cột. Số ô cô đơn lớn nhất có thể có trong bảng là bao nhiêu?
Một hình nón tròn có đỉnh $C$, điểm $A$ nằm trên đường tròn đáy và điểm $B$ nằm trên đoạn $AC$, như hình dưới. Một sợi dây ngắn nhất có thể được quấn một vòng quanh hình nón, bắt đầu tại $A$ và kết thúc tại $B$. Giả sử đường kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón lần lượt là $6$ cm và $12$ cm. Nếu $AB=3$ cm và $D$ là điểm trên sợi dây gần $C$ nhất, thì độ dài $CD$, tính bằng cm, là bao nhiêu?
