Ngân hàng câu hỏi xIMC 2001

Tìm mọi số nguyên $n$ sao cho $1+2+\cdots+n$ là số có ba chữ số giống nhau.

Ngũ giác lồi $ABCDE$ có $CD=DE=4$ cm, $EA=AB=BC=2$ cm và $\angle A=\angle B=120^\circ$. Tìm diện tích theo xentimét vuông.

Một hình vuông $6$ cm × $6$ cm phủ được nhiều nhất $60\%$ diện tích một tam giác. Khi đặt tam giác lên hình vuông, tam giác phủ được nhiều nhất $\frac23$ hình vuông. Tìm diện tích tam giác theo xentimét vuông.

Bốn số nguyên dương liên tiếp có tính chất: số nhỏ nhất chia hết cho $5$, số thứ hai cho $7$, số thứ ba cho $9$, số lớn nhất cho $11$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của số lớn nhất.

Trong khoảng từ năm đến sáu giờ, một phụ nữ xem đồng hồ và nhầm kim giờ với kim phút. Bà nghĩ thời gian sớm hơn thực tế khoảng $55$ phút. Chính xác thời gian bị đọc nhầm sớm hơn bao nhiêu phút?

Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Bán kính nội tiếp bằng $4$ cm. Nếu các độ dài $BD,CE,AF$ theo xentimét là các số nguyên liên tiếp, tìm chu vi tam giác theo xentimét.

Tìm số nguyên tố $p$ lớn nhất sao cho tồn tại các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $p+1=2x^2$ và $p^2+1=2y^2$.

Tìm nghiệm thực lớn nhất của $\sqrt{3x^2-18x+52}+\sqrt{2x^2-12x+162}=\sqrt{-x^2+6x+280}$.

Rút gọn $\sqrt{12-\sqrt{24}+\sqrt{39}-\sqrt{104}}-\sqrt{12+\sqrt{24}+\sqrt{39}+\sqrt{104}}$ thành một giá trị số.

Cho $m=1010101\cdots01$, trong đó chữ số $1$ xuất hiện $k$ lần. Tìm $k$ nhỏ nhất để $1001001001001$ là ước của $m$.

Cho $a,b$ là các số thực dương khác nhau, $A=(a+b)/2$, $G=\sqrt{ab}$. Chứng minh $G\lt \frac{(a-b)^2}{8(A-G)}\lt A$.

Tìm khoảng giá trị của $p$ để $3^{2x}-3^{x+1}=p$ có hai nghiệm thực dương phân biệt.

Bốn đỉnh của một hình vuông nằm trên chu vi một tam giác nhọn không cân: một đỉnh trên mỗi cạnh trong hai cạnh, và hai đỉnh trên cạnh thứ ba. Để hình vuông lớn nhất có thể, cạnh chứa hai đỉnh nên là cạnh dài nhất, ngắn nhất hay không thuộc hai loại đó? Hãy giải thích.

Điền các số từ $1$ đến $16$ vào các đỉnh của hai hình lập phương, mỗi đỉnh một số và không lặp, sao cho tổng các số ở bốn đỉnh của mỗi mặt đều bằng nhau.

Xếp các số từ $1$ đến $20$ thành một vòng tròn sao cho tổng của mỗi cặp số kề nhau là số nguyên tố.

Hình dưới được tạo từ hình chữ nhật $2\times3$, cắt một phần tư ô vuông trên phải rồi gắn vào ô vuông dưới trái. Cắt hình theo một đường gấp khúc để được hai mảnh bằng nhau.

Một ô $1\times1$ được gọi là bỏ được nếu khi bỏ nó khỏi hình vuông $8\times8$, phần còn lại có thể được lát bằng $21$ bản sao của mỗi loại trong hai hình dưới đây, xét riêng từng cách lát. Có bao nhiêu ô bỏ được?

Số có bốn chữ số $3025$ bằng bình phương của tổng hai số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối: $(30+25)^2=3025$. Tìm mọi số có bốn chữ số khác có tính chất này.

$P$ nằm trong tam giác đều $ABC$, với $PA=4$ cm, $PB=4\sqrt3$ cm, $PC=8$ cm. Tìm diện tích $ABC$ theo xentimét vuông.

Phân số $\frac14$ có tính chất: thêm chữ số $6$ vào sau tử $n$ lần và vào trước mẫu $n$ lần thì được $\frac{166\cdots6}{66\cdots64}=\frac14$ với mọi $n\ge1$. Tử và mẫu đều là một chữ số, mẫu lớn hơn tử. Tìm mọi phân số khác có tính chất này; chữ số lặp không nhất thiết là $6$.