2025 VIMC keystage2-EMIC team

Một số có ba chữ số $\overline{abc}$ được gọi là đặc biệt nếu $\overline{abc}$ nhỏ hơn $500$ và ba chữ số cuối của $\overline{abc}^{\,3}$ là $\overline{abc}$. Tổng của số đặc biệt lớn nhất và số đặc biệt nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

Ở dưới, hình bên trái là một dây xích có hai vòng nối với nhau, còn hình bên phải là một dây xích có bảy vòng nối với nhau.



Ông Metal có $10$ dây xích. Hai dây giống nhau, mỗi dây chỉ gồm một vòng. Tám dây còn lại lần lượt có $2,3,5,8,13,21,34$ và $55$ vòng nối với nhau, như hình dưới đây.



Ông Metal muốn tạo thành từ hai dây xích trở lên, tất cả có cùng độ dài, không có chu trình khép kín hay vòng nào còn bị hở. Phải dùng tất cả các vòng. Thời gian ngắn nhất để làm việc đó là bao nhiêu phút, nếu cắt một vòng mất đúng $1$ phút (thao tác này tách vòng đó khỏi các vòng khác), còn nối các vòng bằng cách hàn kín một vòng đang hở mất đúng $3$ phút (sau khi móc nó vào không, một hoặc nhiều vòng khác)?



Ví dụ thao tác cắt A và B: Cắt; mất đúng một phút. Ví dụ thao tác nối A và B: Nối; mất đúng ba phút.

(Vui lòng ghi câu trả lời ở mặt sau)

Cho $n$ là số nguyên dương, là bội của $18$ và có đúng $15$ ước dương. Tổng tất cả các giá trị có thể của $n$ là bao nhiêu?

Hình dưới đây là một bảng $4\times4$ gồm $16$ ô vuông đơn vị, có một ngôi sao trong mỗi ô góc. Chia bảng bằng cách cắt theo các đường kẻ ô thành những miền không chồng lấn, mỗi miền nối với nhau qua cạnh. Một cách chia được gọi là hợp lệ nếu mọi miền có cùng diện tích và mỗi miền chứa đúng một ngôi sao. Hãy vẽ tất cả các cách chia hợp lệ của bảng.

(Lưu ý: Hai cách chia được coi là giống nhau nếu có thể biến cách này thành cách kia bằng một số hữu hạn phép đối xứng và/hoặc phép quay.)



Trả lời:



(Lưu ý: Có thể không cần điền hết mọi hình trả lời được cung cấp.)

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là một tứ giác có diện tích $675$ cm², trong đó $AB$ song song với $CD$ và $AB=20$ cm, $CD=25$ cm. Các điểm $M,R$ và $T$ lần lượt nằm trên các đoạn $BD,AB$ và $AC$, sao cho $\frac{MD}{MB}=\frac16$ và $\frac{TC}{TA}=\frac14$.

Nếu diện tích tam giác $MRT$ là $216$ cm² thì độ dài $AR$ bằng bao nhiêu cm?

Ba hộp $V,N$ và $M$ ban đầu lần lượt chứa $20,25$ và $60$ viên bi giống nhau. Hai người chơi luân phiên thực hiện một trò chơi. Mỗi lượt, người chơi chọn một hộp và lấy ra một số bi dương từ hộp đó. Tuy nhiên, sau mỗi lượt luôn phải thỏa mãn các điều kiện sau:
- Số bi trong hộp $V$ không bao giờ được vượt quá số bi trong hộp $N$;
- Số bi trong hộp $N$ không bao giờ được vượt quá số bi trong hộp $M$.

Người lấy viên bi cuối cùng thắng. Một trong hai người có chiến lược thắng. Hãy nêu chiến lược thắng cho người đó và chứng minh chiến lược ấy có tác dụng.

Có bao nhiêu bội nguyên dương của $2025\times10101$ có đúng $2025$ ước dương?

Trong một bảng $5\times5$, mỗi ô sẽ được tô bằng một trong nhiều màu.



Cần ít nhất bao nhiêu màu khác nhau để dù đặt miếng ghép hình chữ L (vẽ dưới đây) trên bảng $5\times5$ theo các đường kẻ ô như thế nào, nó cũng luôn phủ $5$ ô có màu đôi một khác nhau? (Lưu ý: Phải đưa ra một cách tô màu đạt đáp số của mình và chứng minh rằng không thể dùng ít màu hơn.)



Trả lời: màu,

Trong một trò xổ số, người chơi chọn $6$ số nguyên dương đôi một khác nhau từ $1$ đến $42$.

Một mẫu phiếu xổ số được vẽ dưới đây:



Alex coi một phiếu là hoàn hảo nếu mọi chữ số từ $1$ đến $9$ được dùng đúng một lần trong các số được chọn và chữ số $0$ hoàn toàn không được dùng. Ví dụ, bạn ấy có thể chọn $7,8,9,14,25$ và $36$, như trong hình dưới đây:



Có bao nhiêu cách để bạn ấy điền một phiếu hoàn hảo?

Hình dưới đây là một lưới $4\times4$ gồm các điểm cách đều nhau, đã bỏ bốn điểm ở giữa. Có tất cả bao nhiêu đường tròn phân biệt đi qua ít nhất $3$ điểm lưới được vẽ?