Như Hình 1, có ba đoạn dốc được tạo bởi ba cung tròn tiếp xúc liên tiếp: một cung một phần tư đường tròn bán kính $21$ cm, tiếp theo là một cung một phần tư đường tròn bán kính $35$ cm, rồi đến một nửa đường tròn bán kính $21$ cm. Như Hình 2, một đĩa tròn bán kính $7$ cm lăn dọc theo dốc từ đầu mút bên trái đến đầu mút bên phải, không trượt và luôn tiếp xúc với dốc. Tổng diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của miền mà đĩa phủ lên trong khi lăn là bao nhiêu? (Chú ý: Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.)
Hình 1 ở bên trái; Hình 2 ở bên phải. Các đĩa tô đen đánh dấu vị trí bắt đầu và kết thúc.
Alex bắt đầu bằng cách viết số $100$ lên một tờ giấy. Từ số thứ hai trở đi, mỗi số được viết bằng tổng của số ngay trước đó và thừa số nguyên tố lớn nhất của số ấy. Chẳng hạn, số thứ hai là $100+5=105$ vì thừa số nguyên tố lớn nhất của $100$ là $5$, và số thứ ba là $105+7=112$ vì thừa số nguyên tố lớn nhất của $105$ là $7$. Số nhỏ nhất mà Alex viết ra và lớn hơn hoặc bằng $2026$ là bao nhiêu?
Một từ đối xứng là một từ có cách viết giống nhau khi đọc từ trái sang phải và từ phải sang trái. Khi dùng các chữ cái của từ NAADAM, ta tạo được chín từ đối xứng khác nhau:
A, D, M, N, AA, AAA, ADA, AMA, ANA.
Có thể tạo được bao nhiêu từ đối xứng khác nhau bằng các chữ cái trong $11$ chữ cái của MONGOLIA IMC?
Như hình dưới, diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng $408\ \mathrm{cm}^2$. Các điểm $M$ và $N$ nằm trên cạnh $CD$, sao cho $DN:NM:MC=2:3:1$. Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AD$. Nếu diện tích bốn miền tô đậm lần lượt là $a$, $b$, $c$ và $d\ \mathrm{cm}^2$, thì giá trị của $(a+d)-(b+c)$ bằng bao nhiêu?
Cho $A$, $B$, $C$ và $D$ là bốn số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn
$$\frac1A+\frac1B+\frac1C+\frac1D=\frac{21}{22}.$$
Tất cả các giá trị có thể có của $A+B+C+D$ là gì?
Điền các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ vào chín ô vuông trong hình dưới, mỗi chữ số dùng đúng một lần.
Chữ số trong mỗi ô tô đậm phải lớn hơn chữ số trong từng ô chung cạnh với nó ít nhất $3$ đơn vị.
Ví dụ, nếu một ô tô đậm chứa chữ số $9$, mọi ô chung cạnh với nó có thể chứa bất kỳ chữ số nào trong các chữ số $1,2,3,4,5$ hoặc $6$, nhưng không được chứa $7$ hoặc $8$.
Như hình dưới, tam giác $ABC$ nhọn và $AH$ là đường cao từ $A$ xuống cạnh $BC$. Điểm $D$ nằm trên đoạn $AH$, với $\angle DBA=\angle DAC=20^\circ$ và $\angle DBC=10^\circ$. Số đo, tính bằng độ, của $\angle DCB$ là bao nhiêu?
Một người chăn bò yak ở Mông Cổ quản lý hai khu chăn thả khác nhau: đồng cỏ A và đồng cỏ B. Ở mỗi đồng cỏ, cỏ mọc thêm với tốc độ không đổi mỗi ngày, nhưng tốc độ mọc có thể khác nhau giữa hai đồng cỏ. Mỗi con bò ăn cỏ với cùng một tốc độ không đổi.
Qua nhiều năm kinh nghiệm, người chăn bò có các quan sát sau:
Đối với đồng cỏ A:
- $29$ con bò có thể ăn hết toàn bộ cỏ trong đúng $7$ ngày,
- $17$ con bò có thể ăn hết toàn bộ cỏ trong đúng $28$ ngày.
Đối với đồng cỏ B:
- $41$ con bò có thể ăn hết toàn bộ cỏ trong đúng $6$ ngày,
- $21$ con bò có thể ăn hết toàn bộ cỏ trong đúng $26$ ngày.
Người chăn bò hiện có $32$ con bò, tất cả đều phải ăn cỏ mỗi ngày. Mỗi ngày, ông có thể chia đàn bò giữa hai đồng cỏ theo cách tùy ý, và cách phân chia có thể thay đổi từ ngày này sang ngày khác.
Số ngày nhiều nhất mà $32$ con bò có thể tiếp tục ăn cỏ trước khi cỏ ở cả hai đồng cỏ bị ăn hết hoàn toàn là bao nhiêu?
