2022 IIMC keystage3-IWYMIC individual

Biết rằng phương trình $x^2+px+q=0$ có hai nghiệm nguyên dương. Nếu $p+q=16$ thì giá trị của $q$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+n$ có đúng $6$ ước nguyên dương?

Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương sao cho biểu thức $\frac{3a^2+b^2+3c^2}{ab+bc+ac}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Nếu $abc=432$ thì tìm giá trị của $3a+b+3c$.

Trong hình dưới đây, $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ sao cho $PB=24$ cm và $PC=8$ cm. Nếu $AP$ và $BC$ cắt nhau tại $D$ thì tìm độ dài, tính bằng cm, của $PD$.

Cho $a$, $b$, $c$ và $d$ là các số nguyên dương sao cho $0\lt a\lt b\lt c\lt d\lt 2022$, $a+d=b+c$ và $bc-ad=2021$. Có bao nhiêu bộ bốn có thứ tự $(a,b,c,d)$?

Gọi $f(n)$ là số lần xuất hiện của chữ số $2$ trong dãy số nguyên dương $1,2,3,4,\ldots,n$. Chẳng hạn: $f(23)=7$, vì chữ số $2$ xuất hiện một lần trong mỗi số $2,12,20,21,23$ và hai lần trong số $22$, nên $f(23)=5+2=7$. Tìm một số nguyên dương $n$ sao cho $f(n)=n$.

Gọi $a$ và $b$ là hai nghiệm phân biệt của $x^2+2018x+1=0$, còn $c$ và $d$ là hai nghiệm phân biệt của $x^2-2022x+1=0$.

Tìm giá trị của $(a+c)(a-d)(b+c)(b-d)$.

Từ lưới điểm trong hình dưới đây, có bao nhiêu cách chọn ba điểm khác nhau sao cho ba điểm được chọn tạo thành một tam giác?

Trong hình dưới đây, $ABCDEF$ là một lục giác đều. Gọi $G$ là trung điểm của $CD$ và $H$ là giao điểm của $AG$ với $BF$, như hình dưới đây. Nếu độ dài của $BF$ là $140$ cm thì tìm độ dài, tính bằng cm, của $BH$.

Một nghìn số khác không $x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots,x_{1000}$ được viết theo thứ tự vòng quanh một đường tròn. Mỗi số ở vị trí lẻ bằng tổng hai số kề nó, còn mỗi số ở vị trí chẵn bằng tích hai số kề nó. Tổng của một nghìn số này có thể nhận những giá trị nào?

Có bao nhiêu số nguyên dương có $10$ chữ số sao cho tích các chữ số bằng $120$ và tổng các chữ số bằng $20$?

Trong hình dưới đây, tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$ và $\angle A=108^\circ$. Gọi $M$ là một điểm bên trong $ABC$ sao cho $\angle MAB=30^\circ$ và $\angle MBA=12^\circ$. Tìm số đo, tính bằng độ, của $\angle MCB$.

Anna và Boris chơi một trò chơi trên bàn $6\times8$, mỗi ô vuông đơn vị có một quân. Anna đi trước, sau đó hai người luân phiên đi. Trong lượt của mình, Anna lấy hai quân ở hai ô kề nhau trong cùng hàng hoặc cùng cột. Trong lượt của mình, Boris chỉ lấy một quân. Tuy nhiên, nếu đến lượt mà Anna không thể lấy hai quân kề nhau nữa thì Boris nhận tất cả các quân còn lại. Boris có thể bảo đảm nhận được nhiều nhất bao nhiêu quân?

Cho $OA$ và $OB$ là hai bán kính của đường tròn tâm $O$ sao cho $OA\perp OB$, như hình dưới đây. Gọi $P$ là một điểm trên đường tròn và $Q$ là điểm trên $AP$ sao cho $AP=4AQ$. Nếu $OA=8$ cm thì độ dài nhỏ nhất có thể, tính bằng cm, của $BQ$ là bao nhiêu?

Cho $\overline{abcd}$ là một số có bốn chữ số, trong đó $a,c\ne0$, sao cho $\frac{\sqrt{\overline{abcd}}}{\sqrt{\overline{ab}}+\sqrt{\overline{cd}}}$ là một số hữu tỉ. Tìm tất cả các giá trị có thể của $\overline{abcd}$.