2023 BIMC keystage3-IWYMIC team

Phương trình $x^3-9x^2+11x-1=0$ có các nghiệm thực không âm $p$, $q$ và $r$. Nếu $s=\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r$, giá trị của $|s^4-18s^2-8s|$ là bao nhiêu?

Cho $ABCD$ là một hình chữ nhật, $E$ là một điểm trên đoạn thẳng $BC$. Đường tròn $\omega$ có tâm $A$ và đi qua $E$. Các đường thẳng kéo dài $EB$ và $AE$ cắt $\omega$ lần lượt tại $X$ và $Y$, như hình dưới. Chứng minh rằng $DC$ tiếp xúc với đường tròn đi qua $Y$, $X$ và $D$.



Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu ví dụ hoặc chứng minh cụ thể của câu hỏi.

Tứ giác lồi $ABCD$ có $\angle CAD=40^\circ$, $\angle BAC=50^\circ$, $\angle CBD=20^\circ$ và $\angle CDB=25^\circ$, như hình dưới. Nếu $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, số đo theo độ của $\angle AOB$ là bao nhiêu?

Dinko bỏ một số viên bi vào một trăm túi đen được đánh số từ 1 đến 100. Mỗi lần, bạn được hỏi Dinko về tính chẵn lẻ của tổng số bi trong bất kỳ 15 túi phân biệt nào, và Dinko sẽ trả lời đúng. Cần hỏi Dinko ít nhất bao nhiêu lần để xác định đúng tính chẵn lẻ của số bi trong túi 1? Hãy đưa ra một ví dụ và chứng minh đáp án.

Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu ví dụ hoặc chứng minh cụ thể của câu hỏi.

Cho tam giác $ABC$ có $\angle C=90^\circ$, $AC=28$ cm và $BC=14$ cm. Dựng các hình vuông $ACDE$ và $BCFG$ ra ngoài tam giác $ABC$. Đường thẳng $BE$ cắt $AC$ và $AG$ lần lượt tại $H$ và $I$. Đường thẳng $AG$ cắt $BC$ tại $J$, như hình dưới. Diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tứ giác $CHIJ$ là bao nhiêu?

Tồn tại một cấp số cộng vô hạn thỏa mãn các tính chất sau:

- Mỗi số hạng của cấp số cộng là một số nguyên dương.
- Công sai của cấp số cộng là $d$.
- Không có số hạng nào của cấp số cộng xuất hiện trong dãy Fibonacci.

Số nguyên dương $d$ nhỏ nhất để điều này có thể xảy ra là bao nhiêu?

(Dãy Fibonacci được định nghĩa bởi $F_1=1$, $F_2=1$, $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ với $n\ge1$.)

Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu ví dụ hoặc chứng minh cụ thể của câu hỏi.

Một số chính phương $N$ được gọi là “số BIMC” nếu tồn tại ba số nguyên dương $a$, $b$ và $c$, với $a\lt b\lt c$, sao cho
$$N=(b-a)(c-a)(c-b)=ab+ac+bc.$$
Chẳng hạn, $230400$ là một số BIMC vì $230400=480\times480$ và
$$230400=(288-224)(324-224)(324-288)$$
$$=224\times288+224\times324+288\times324.$$
Số BIMC nhỏ nhất là bao nhiêu?

Tim muốn đặt 1600 điểm bên trong một hình vuông đơn vị sao cho bên trong mỗi hình chữ nhật có diện tích $\frac1{200}$ và các cạnh song song với các cạnh hình vuông đều có ít nhất một điểm. Có thể làm được không? Nếu có, hãy đưa ra một ví dụ và chứng minh nó thỏa mãn yêu cầu. Nếu không, hãy chứng minh điều đó không thể xảy ra.

Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu ví dụ hoặc chứng minh cụ thể của câu hỏi.

Có bao nhiêu số nguyên dương có 7 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9?

Một cách xếp số thành tam giác được gọi là tam giác thông minh bậc $n$ nếu có thể xếp tất cả các số nguyên dương từ $1$ đến $\frac{n(n+1)}2$ thành một cấu trúc tam giác sao cho, ngoài hàng đáy gồm $n$ số, mỗi số ở hàng phía trên là hiệu tuyệt đối hoặc tổng của hai số ngay dưới nó.

Các cấu trúc tam giác dưới đây, từ trái sang phải, lần lượt là một số ví dụ về tam giác thông minh bậc 2, 3 và 4.



(a) Có tồn tại tam giác thông minh bậc 5 với các số 1, 2 và 3 ở ba đỉnh như hình dưới không? Nếu có, hãy đưa ra một ví dụ. Nếu không, hãy chứng minh điều đó không thể xảy ra. (10 điểm)



(b) Có tồn tại tam giác thông minh bậc 6 không? Nếu có, hãy đưa ra một ví dụ. Nếu không, hãy chứng minh điều đó không thể xảy ra. (30 điểm)

Phiếu trả lời gốc (tiếp tục ở trang nguồn kế tiếp):

(a) Câu trả lời của tôi là có và ví dụ được trình bày bên phải. / Câu trả lời của tôi là không và chứng minh là:



(b) Câu trả lời của tôi là có và ví dụ được trình bày bên phải. / Câu trả lời của tôi là không và chứng minh là:



Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu ví dụ hoặc chứng minh cụ thể của câu hỏi.