Ngân hàng câu hỏi SMO

Cho $ABCD$ là hình thoi và $E$ là một điểm trên đường chéo $AC$. Gọi $F$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BF=DE$. Chứng minh rằng
$$(AB+BF)\cdot FC=AE\cdot EC.$$

Chứng minh rằng mọi số nguyên $n$ đều có thể viết dưới dạng $n=a^2+b^2-c^2$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên.

Kẻ các đường bên trong một hình vuông cạnh 1 để chia nó thành các hình vuông, không nhất thiết cùng kích thước. Chọn một đường chéo chính của hình vuông ban đầu. Một hình vuông được gọi là cắt đường chéo đã chọn nếu nó có ít nhất một điểm chung với đường chéo. Có thể kẻ các đường sao cho tổng chu vi của những hình vuông cắt đường chéo chính đã chọn lớn hơn 2026 hay không?

Alex và Bob luân phiên chọn mỗi lượt một số chưa được chọn từ $\{0,1,2,\ldots,14\}$, Alex đi trước. Alex thắng nếu trong các số mình đã chọn có một cấp số cộng gồm 4 số hạng. Alex có chiến thuật chắc thắng không?

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn phương trình
$$a^2+b^2+c^2=13(ab+bc+ca).$$

Trong hình vuông $ABCD$, $E,F$ lần lượt là các điểm trên cạnh $AB$ và $BC$. Gọi $N$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ xuống $CE$. Cung tròn từ $C$ đến $A$ có tâm $B$, bán kính $BC$, cắt đoạn $DN$ tại $K$. Nếu $\angle FND=90^\circ$ và $KF$ song song với $NB$, tìm giá trị của $\dfrac{BE+BF}{AB}$.

Cho $P$ là một cấu hình gồm $n\ge3$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng, và $K$ là một tập cực đại các đường thẳng đôi một không song song, mỗi đường nối hai điểm trong cấu hình. Gọi $M(P)$ là số phần tử lớn nhất có thể của $K$. Giá trị nhỏ nhất của $M(P)$ trên mọi cấu hình $P$ là bao nhiêu?

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn
$$a^2+b^2+c^2=13(ab+bc+ca).$$

Cố định số nguyên dương $N$. Cho các dãy số thực $a_k,b_k$ $(0\le k\le N)$ và $c_k$ $(1\le k\le N)$ sao cho với mọi $1\le k\le N$, ta có
$$a_k=\frac{4a_{k-1}+3b_{k-1}}5+c_k,$$
$$b_k=\frac{4b_{k-1}-3a_{k-1}}5.$$
Nếu $a_0=b_0=0$ và $a_N\ge1$, tìm giá trị nhỏ nhất của
$$|c_1|+|c_2|+\cdots+|c_N|.$$

Cho $(x_n)$ là một dãy số dương. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho
$$\frac{x_1+\cdots+x_{n+1}}{x_n}>3.99.$$

Cho hằng số $m$. Nếu $x+3$ là một nhân tử của $x^2-2x+m$, biểu thức nào sau đây cũng là nhân tử của $x^2-2x+m$?

Trong hình dưới, năm đường tròn được sắp sao cho mỗi đường tròn bên trong tiếp xúc các đường tròn bên trong kề nó và đường tròn lớn nhất. Các đỉnh của tứ giác tô màu là tâm bốn đường tròn bên trong đường tròn lớn nhất. Nếu đường kính đường tròn lớn nhất bằng $x$ cm, diện tích tứ giác tô màu theo $x$ bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$?

Cho các số thực khác không $x,y$ thỏa $|x|-y=4$ và $|x|y-x^3=0$. Tìm $x-y$.

Cho $a=\sqrt{102}+\sqrt{98}$, $b=\sqrt{101}+\sqrt{99}$ và $c=20$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm tích hai nghiệm thực của phương trình $$(x+6)^2=2\sqrt{x^2+12x+37}+7.$$

Xe $A$ rời làng $X$ đi làng $Y$ cùng lúc xe $B$ rời làng $Y$ đi làng $X$. Hai xe chạy với vận tốc không đổi. Sau $5$ giờ chúng gặp nhau. Thêm $3$ giờ nữa, xe $A$ tới làng $Y$ còn xe $B$ vẫn cách làng $X$ $90$ km. Tìm khoảng cách hai làng theo km.

Cho bốn số nguyên $a,b,c,d$. Tạo bốn số mới bằng cách cộng vào mỗi số trung bình cộng của ba số còn lại. Nghĩa là cộng vào $a$ trung bình của $b,c,d$; cộng vào $b$ trung bình của $a,c,d$; và tương tự. Nếu bốn số mới là $28,37,46,57$, hãy tìm trung bình cộng của $a,b,c,d$.

Bảng $3\times3$ dưới đây có ba ô ghi ba số nguyên dương $1,221,m$. Tìm $m$ để có thể điền sáu ô còn lại bằng sáu số nguyên dương đôi một khác nhau và khác $1,221,m$, sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.

Cho $y=|x+1|+|x-2|+|x-4|$, với $x$ thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $y$.

Tính $\left(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\right)^4+\left(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\right)^4$.