SMO 2025 - Senior - Vòng 1

Giả sử phương trình $x^2+Ax+B=0$ có hai nghiệm $A+B$ và $B-A$, với $A\ne B$. Tìm $A-B$.

Giả sử $2025\log_{2^{2025}}\sqrt{2025}+\dfrac{2}{\log_{\sqrt{2025}}2}=\log_2 M$. Tìm $M$.

Cho $y=\sin^2x-4\sin x+15$, với $x$ thực. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.

Tính $\dfrac{\sin75^\circ+\sin15^\circ}{\cos75^\circ+\cos15^\circ}$.

Tìm giá trị lớn nhất của $\dfrac{3x^2}{x^2+2x+2}$.

Tìm giá trị lớn nhất của $16-64\sin x\cos x+48\sin^2x$.

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển $\left(\dfrac1x+3x^2\right)^8$.

Cho $x,y$ thực thỏa $x-y=10$ và $x^2-2xy+y^2+xy^2-y^3=910$. Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$.

Giả sử $x$ thực thỏa $\left(x-\dfrac53\right)^{5+\sqrt{x-11/3}}=\dfrac{96}{x-2/3}$. Tìm $9x^2$.

Cho $f(x)=\dfrac{2^{x+2}}{2^x+1}$. Tính $f(-1/2025)+f(-1/2024)+\cdots+f(-1)+f(0)+f(1)+\cdots+f(1/2024)+f(1/2025)$.

Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{14-\sin^2 2\theta-4\cos^4\theta}{\sin2\theta}$ khi $0\lt \theta\lt \pi/4$. Tìm $m^2$.

Cho $g(x)=x^3+3x^2-x-5$ có ba nghiệm thực phân biệt $\alpha_1\lt \alpha_2\lt \alpha_3$. Tính $|\lfloor\alpha_1\rfloor|+|\lfloor\alpha_2\rfloor|+|\lfloor\alpha_3\rfloor|$.

Cho
$$N=\sum_{k_1=0}^{2025}\sum_{k_2=0}^{k_1}\sum_{k_3=0}^{k_2}\cdots\sum_{k_{2098}=0}^{k_{2097}}
\frac{n!}{(n-k_1)!(k_1-k_2)!\cdots(k_{2097}-k_{2098})!\,k_{2098}!}.$$
Tìm số dư khi chia $N$ cho $3000$.

Bản quét được cung cấp có ghi tay $n=2025$ và thừa số cuối $k_{2098}!$; cả hai được giữ trong bản chép trên và trong trích ảnh gốc dưới đây.

Một con xúc xắc lệch năm mặt mang các số $1,2,3,4,5$, có xác suất ra số chẵn là $p$. Biết xác suất có đúng ba lần ra số lẻ trong sáu lần gieo độc lập là $8/225$, và hai giá trị có thể của $p$ là $p_1,p_2$. Tính $\left\lfloor\dfrac1{p_1p_2}\right\rfloor$.

Gọi $C_1$ là đường cong $y=x^2$. Quay $C_1$ ngược chiều kim đồng hồ $75^\circ$ để được đường cong $C_2$. Biết phương trình của $C_2$ viết được dưới dạng $(8-4\sqrt3)x^2+By^2+Cx+Dy+Exy=0$. Tính $\left\lfloor(8-4\sqrt3)+|B|+|C|+|D|+|E|\right\rfloor$.

Cho
$$A_{m,n}=\frac1{\log_2 2025\,\log_3 2\,\log_4 3\cdots\log_{99}98\,\log_{2025^{mn}}99}$$
và $S_k=A_{2025,2}+A_{2025,3}+\cdots+A_{2025,k}$. Nếu $T=\sum_{k=2}^{\infty}1/S_k$, tính $\lceil1/T\rceil$.

Các đường thẳng $y=-\dfrac43x+\dfrac{40}3$, $y=\dfrac43x+\dfrac{40}3$ và trục $x$ là các tiếp tuyến của một đường tròn bán kính $r$. Tìm $r$.

Cho $\mathcal E=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và các tập $A,B,C\subseteq\mathcal E$ thỏa $A\cap C=\varnothing$, $(A\cap B)\cup(B\cap C)=\{1,2,3,4\}$. Đặt
$$S_1=A'\cap B'\cap C',\quad S_2=A\cap B',\quad S_3=B'\cap C,\quad S_4=A'\cap B\cap C'.$$
Có bao nhiêu bộ tập hợp có thứ tự $(A\cap B,B\cap C,S_1,S_2,S_3,S_4)$?

Trong hình dưới, đường tròn nhỏ có tâm $O$ nằm trên đường tròn lớn. Hai đường tròn cắt nhau tại $P,Q$. Dây $PR$ của đường tròn nhỏ tiếp xúc đường tròn lớn. Kéo dài đường thẳng $RO$ để gặp đường tròn lớn tại $S$. Biết $\angle PRS=20^\circ$ và $\angle SPQ=x^\circ$, tìm $x$.

Cho $A=\sum_{i=0}^{2025}\binom{2025}{i}^2$, $B=\sum_{i=0}^{2024}\binom{2024}{i}^2$. Tính $\lfloor A/B\rfloor$.