Trong tam giác $ABC$, $\angle B>90^\circ$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh $BC$ và $CA$ lần lượt tại $D$ và $E$. Hai đường thẳng $ED$ và $AB$ cắt nhau tại $P$. Đường tròn nội tiếp tam giác $AEP$ tiếp xúc với các cạnh $PE$ và $AP$ lần lượt tại $D_1$ và $E_1$. Hai đường thẳng $E_1D_1$ và $AE$ cắt nhau tại $P_1$. Giả sử $P,C,E,B$ cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh $BE$ song song với $PP_1$.
Xét đa thức $P(x)=x(x-1)\cdots(x-2024)$. Chứng minh $P^{(n)}(x)=2025$ có ít nhất $2024^n$ nghiệm thực phân biệt, trong đó $n$ là số nguyên dương bất kỳ và $P^{(n)}(x)=P(P(\cdots P(x)\cdots))$ là phép lặp hàm $P$ đúng $n$ lần.
Với mỗi số nguyên dương $n$ có 4 chữ số, định nghĩa $f(n)=(a+b)^2$, trong đó $a,b$ lần lượt là các số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối của $n$ (cho phép chữ số $0$ ở đầu mỗi khối). Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có 4 chữ số sao cho $f(n)=n$.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất, hoặc chứng minh không có số $n$ như vậy, sao cho có vô hạn bộ $n$ số hữu tỉ dương phân biệt $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^n a_i\in\mathbb Z,\qquad\sum_{i=1}^n\frac1{a_i}\in\mathbb Z.$$
Alice bắt đầu với một số đồng xu trong hộp. Ở phút thứ $n$ (với $n=1,2,3,\ldots$), cô có thể chọn bỏ thêm một đồng xu vào hộp hoặc không làm gì, rồi viết số $2c^2-n^2$ lên bảng, trong đó $c$ là số đồng xu trong hộp. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, cuối cùng sẽ có hai số trên bảng có tổng là bội của $m$.