SMO 2024 - Senior - Vòng 1

Tìm số nguyên dương lớn nhất $A$ sao cho $2^x+\dfrac{2025}{2^x}-A>0$ với mọi số thực $x$.

Nếu $x=\dfrac1{\log_{\frac{2024}{2023}}7}+\dfrac1{\log_{\frac{2023}{2022}}7}+\dfrac1{\log_{\frac{2022}{2021}}7}$, hãy tính $7^x$.

Rút gọn $\dfrac{2024}{\sqrt{4+\sqrt{12}}}+\dfrac{2024}{\sqrt{4-\sqrt{12}}}$.

Giả sử $x^{1/3}+12=y^{1/3}$ với các số thực $x,y$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $y-x$.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\dfrac{\sqrt2\cos(2x)}{\sin(x)+\cos(x)}$.

(A) $\frac12$

(B) 1

(C) $\frac32$

(D) 2

(E) $\frac52$

Nếu $\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}=4$, hãy tính $15x$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $K$ sao cho
$$x^2-200x+y^2=0\quad\text{và}\quad x+y\le K.$$

Biết $\dfrac{\cos(x)}{\sin(3x)}-\dfrac{\sin(x)}{\cos(3x)}-2\cdot\dfrac{\sin(4x)}{\cos(6x)}=2024$, hãy tính $\dfrac{\cos(10x)}{\sin(12x)}$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho hệ số của $x^k$ trong khai triển $\left(5x^3+\dfrac1{\sqrt{x}}\right)^{2024}$ khác không.

Cho
$$P=(2024^2+1)(2024^{2^2}+1)(2024^{2^3}+1)\cdots(2024^{2^{10}}+1)\times2025+\frac1{2023}.$$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $N$ sao cho $N>\log_{2024}P$.

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $1000$. Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho
$$AM:MB=3:2\quad\text{và}\quad AN:NC=7:3.$$
Gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm của $BN,CM$. Tính diện tích tam giác $AXY$.

Tìm số nguyên dương lớn nhất $n\le10000$ sao cho $1+2024n^2$ là số chính phương.

Trong tứ diện $SABC$, hai mặt $SBC,ABC$ vuông góc nhau. Các góc $\angle ASB$, $\angle BSC$, $\angle ASC$ đều bằng $60^\circ$, và $SB=SC=4$. Tính bình phương thể tích tứ diện.

Gọi $a,b,c$ là ba nghiệm thực của phương trình bậc ba
$$2x^3-4x^2-21x-8=0.$$
Biết
$$S=\frac1{ab+c-1}+\frac1{bc+a-1}+\frac1{ca+b-1}$$
là số hữu tỉ viết được dưới dạng phân số tối giản $\frac mn$, hãy tính $m^2+n^2$.

Xét phương trình
$$\frac{\sqrt3-1}{\sin x}+\frac{\sqrt3+1}{\cos x}=4\sqrt2.$$
Trong khoảng $0\lt x\lt \pi/2$, tổng các nghiệm viết được dưới dạng $\frac{m\pi}{n}$ với $\frac mn$ tối giản. Tính $m+n$.

Một kỹ sư dựng đường tròn tâm $O$, đường kính $CD$ trên mặt đất phẳng, rồi xây một tháp thẳng đứng cao $20$ tại tâm. $B$ là điểm khác trên đường tròn, còn $P$ nằm trên phần kéo dài của $CD$ sao cho $PB$ là cát tuyến. Biết $PB=33$, $PC=77$, $CD=74$, tìm khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm trên $PB$ đến đỉnh tháp.

$P$ là tiếp điểm chung của hai đường tròn. $BA$ là dây của đường tròn lớn và tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại $C$. $PB,PA$ lần lượt cắt đường tròn nhỏ tại $E,D$. Nếu $BA=15$, $PE=2$, $PD=3$, hãy tính $CA$.

Trên mỗi mặt của một hình lập phương ghi một số nguyên lớn hơn $2$. Mỗi đỉnh là giao của ba mặt riêng biệt, mỗi cạnh là giao của hai mặt riêng biệt. Gán cho mỗi đỉnh tích các số trên ba mặt chứa đỉnh đó, và gán cho mỗi cạnh tích các số trên hai mặt chứa cạnh đó. Tổng các số gán cho tám đỉnh bằng $2024$. Tìm giá trị lớn nhất có thể gán cho một cạnh.

Tính tổng bình phương của từng nghiệm của phương trình $$x^2-4\lfloor x\rfloor-12=0,$$ trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Tính số dư khi chia $1901^{2024}$ cho $1216$.