Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

Ngân hàng câu hỏi SMO 2013

Đề thi

110 câu hỏi

Câu hỏi 1

Nếu $a=8^{53}$, $b=16^{41}$ và $c=64^{27}$, bất đẳng thức nào đúng?
  1. $a>b>c$
  2. $c>b>a$
  3. $b>a>c$
  4. $b>c>a$
  5. $c>a>b$

Câu hỏi 2

Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $|a-b|=1$, $|b-c|=1$, $|c-a|=2$ và $abc=60$. Tính
$$\frac a{bc}+\frac b{ca}+\frac c{ab}-\frac1a-\frac1b-\frac1c.$$
  1. $1/30$
  2. $1/20$
  3. $1/10$
  4. $1/4$
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 3

Nếu số phức $x$ thỏa mãn $x^2+x+1=0$, tính $x^{49}+x^{50}+x^{51}+x^{52}+x^{53}$.
  1. -1
  2. $-1/2$
  3. 0
  4. $1/2$
  5. 1

Câu hỏi 4

Trong tam giác $ABC$, $\angle ACB=36^\circ$, và các phân giác trong của $\angle CAB,\angle ABC$ cắt nhau ở $P$. Tìm $\angle APB$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $72^\circ$
  2. $108^\circ$
  3. $126^\circ$
  4. $136^\circ$
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 5

Tìm số cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $xy-3x+5y=0$.
  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 8
  5. 16

Câu hỏi 6

Năm cô gái ngồi quanh bàn tròn. Cô Ong ngồi giữa cô Lim và cô Mak. Ellie ngồi giữa Cindy và cô Nai. Cô Lim ngồi giữa Ellie và Amy. Beatrice có cô Poh ở bên trái và cô Mak ở bên phải. Daisy mang họ gì?
  1. Lim
  2. Mak
  3. Nai
  4. Ong
  5. Poh

Câu hỏi 7

Trong tam giác $ABC$, $D$ là trung điểm $AC$, và $E\in CB$ thỏa $CE=2EB$. Hai đường $AE,BD$ cắt nhau tại $F$. Nếu $[AFB]=1$ đơn vị diện tích, tìm $[ABC]$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. 3
  2. $10/3$
  3. $11/3$
  4. 4
  5. 5

Câu hỏi 8

Hình vuông $ABCD$ có cạnh $8$ cm. Điểm $M$ nằm trên $CB$ với $CM=2$ cm. Khi $N$ thay đổi trên đường chéo $DB$, tìm giá trị nhỏ nhất của $CN+MN$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. 8
  2. $6\sqrt2$
  3. 10
  4. $8\sqrt2$
  5. 12

Câu hỏi 9

Hình chữ nhật $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Điểm $E\in AB$ sao cho $CE$ là phân giác của $\angle BCD$. Nếu $\angle ACE=15^\circ$, tìm $\angle BOE$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $60^\circ$
  2. $65^\circ$
  3. $70^\circ$
  4. $75^\circ$
  5. $80^\circ$

Câu hỏi 10

Gọi $S$ là bội dương nhỏ nhất của $15$ có đúng $3k$ chữ số: $k$ chữ số 0, $k$ chữ số 3 và $k$ chữ số 8. Tìm số dư khi chia $S$ cho $11$.
  1. 0
  2. 3
  3. 5
  4. 6
  5. 8

Câu hỏi 12

Nếu hai đồ thị $y=x^2+2ax+6b$ và $y=x^2+2bx+6a$ chỉ cắt nhau tại một điểm trong mặt phẳng $xy$, hoành độ của điểm đó là bao nhiêu?

Câu hỏi 13

Có bao nhiêu bội của $11$ trong dãy $99,100,101,102,\ldots,20130$?

Câu hỏi 14

Trong hình, các bộ ba $B,A,D$; $B,C,E$; $A,C,F$; và $D,E,F$ thẳng hàng. Biết $BA=BC$, $AD=AF$ và $EB=ED$. Tìm $x$, trong đó $\angle BED=x^\circ$.

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 15

Nếu $a=1.69$, $b=1.73$ và $c=0.48$, tính
$$\frac1{a^2-ac-ab+bc}+\frac2{b^2-ab-bc+ac}+\frac1{c^2-ac-bc+ab}.$$

Câu hỏi 16

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $(x-2)^2=3(x+5)$. Tính $x_1x_2+x_1^2+x_2^2$.

Câu hỏi 17

Cho hình vuông $ABCD$, các điểm $X,Y$ như hình, và $XY=6$, $AX=8$, $AY=10$. Diện tích hình vuông bằng $m/n$ đơn vị diện tích, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$.

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 18

Các số thực $x,y$ thỏa mãn $5x^2+y^2-4xy+24\le10x-1$. Tính $x^2+y^2$.

Câu hỏi 19

Một công việc sơn cần đội A làm riêng $2.5$ giờ, hoặc đội B làm riêng $75$ phút. Đội A làm xong phần $m/n$ công việc thì đội B tiếp quản ngay. Toàn bộ công việc kéo dài $1.5$ giờ. Nếu $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, tìm $m+n$.

Câu hỏi 20

Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{a+b}=\frac13$, $\frac{bc}{b+c}=\frac14$, $\frac{ca}{c+a}=\frac15$. Tính $\frac{24abc}{ab+bc+ca}$.