SMO 2026 - Junior - Vòng 2

Cho $ABCD$ là hình thoi và $E$ là một điểm trên đường chéo $AC$. Gọi $F$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BF=DE$. Chứng minh rằng
$$(AB+BF)\cdot FC=AE\cdot EC.$$

Chứng minh rằng mọi số nguyên $n$ đều có thể viết dưới dạng $n=a^2+b^2-c^2$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên.

Kẻ các đường bên trong một hình vuông cạnh 1 để chia nó thành các hình vuông, không nhất thiết cùng kích thước. Chọn một đường chéo chính của hình vuông ban đầu. Một hình vuông được gọi là cắt đường chéo đã chọn nếu nó có ít nhất một điểm chung với đường chéo. Có thể kẻ các đường sao cho tổng chu vi của những hình vuông cắt đường chéo chính đã chọn lớn hơn 2026 hay không?

Alex và Bob luân phiên chọn mỗi lượt một số chưa được chọn từ $\{0,1,2,\ldots,14\}$, Alex đi trước. Alex thắng nếu trong các số mình đã chọn có một cấp số cộng gồm 4 số hạng. Alex có chiến thuật chắc thắng không?

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn phương trình
$$a^2+b^2+c^2=13(ab+bc+ca).$$