Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

Ngân hàng câu hỏi SMO 2012

Đề thi

110 câu hỏi

Câu hỏi 1

Gọi $\alpha,\beta$ là hai nghiệm của $x^2+2bx+b=1$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $(\alpha-\beta)^2$ là:
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Câu hỏi 2

Biết $n^{2012}+n^{2010}$ chia hết cho $10$ với số nguyên dương $n$. Số nào sau đây không thể là giá trị của $n$?
  1. 2
  2. 13
  3. 35
  4. 47
  5. 59

Câu hỏi 3

Dùng các đỉnh của một hình lập phương làm đỉnh, có thể tạo được bao nhiêu hình chóp tam giác?
  1. 54
  2. 58
  3. 60
  4. 64
  5. 70

Câu hỏi 4

$AB$ là dây của đường tròn tâm $O$. Đường kính $CD$ vuông góc với $AB$, và $AB$ gần $C$ hơn $D$. Biết $\angle AOB=90^\circ$, tính tỉ số diện tích $[ABC]/[AOD]$.
  1. $\sqrt2-1$
  2. $2-\sqrt2$
  3. $\sqrt2/2$
  4. $(1+\sqrt2)/2$
  5. $1/2$

Câu hỏi 5

Trong hình, $ABCD$ là hình bình hành, và $AE,BE$ là các đường thẳng. Gọi $F,G$ lần lượt là giao điểm của $BE$ với $CD,AC$. Biết $BG=EF$, tính $DE/AE$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $(3-\sqrt5)/2$
  2. $(3-\sqrt6)/2$
  3. $(3-\sqrt6)/4$
  4. $(3-\sqrt7)/2$
  5. $(3-\sqrt7)/4$

Câu hỏi 6

Bốn đường tròn cùng bán kính $x$ và một hình vuông được xếp bên trong đường tròn bán kính $8$ như hình. Miền giá trị của $x$ là gì?

Hình minh họa câu hỏi
  1. $0\lt x\lt 4$
  2. $0\lt x\lt 8(\sqrt2+1)$
  3. $4-2\sqrt2\lt x\lt 4$
  4. $4-2\sqrt2\lt x\lt 8(\sqrt2-1)$
  5. $4-\sqrt2\lt x\lt 4(\sqrt2+1)$

Câu hỏi 7

Adam có mảnh đất hình tam giác $ABC$ với $AB=5$, $BC=8$, $CA=11$. Anh dự định dựng hàng rào thẳng từ $A$ đến điểm $D$ trên $BC$ sao cho $AD$ là phân giác của $\angle BAC$. Tính diện tích phần đất $ABD$.
  1. $4\sqrt{21}/11$
  2. $4\sqrt{21}/5$
  3. $5\sqrt{21}/11$
  4. $5\sqrt{21}/4$
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 8

Với số thực $x$, gọi $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Các số thực $a,b$, với $b\ne0$, thỏa mãn
$$a=b\left\lfloor\frac ab\right\rfloor-b\left\{\frac ab\right\}.$$
Khẳng định nào sai?
  1. Nếu b nguyên thì a nguyên.
  2. Nếu a là số nguyên khác 0 thì b nguyên.
  3. Nếu b hữu tỉ thì a hữu tỉ.
  4. Nếu a là số hữu tỉ khác 0 thì b hữu tỉ.
  5. Nếu b là số chẵn thì a là số chẵn.

Câu hỏi 9

Biết $y$, được xác định bởi biểu thức dưới đây, là số nguyên. Khẳng định nào sai?

Hình minh họa câu hỏi

Ghi chú phiên chép: các ký hiệu đặc biệt ở tử bị lỗi trong PDF được cung cấp nên không thể phiên chép chắc chắn. Giữ nguyên hình công thức để duyệt; không tự giả định một công thức thay thế.
  1. x có thể là mọi số nguyên khác 0.
  2. x có thể là mọi số dương.
  3. x có thể là mọi số âm.
  4. y có thể nhận giá trị 2.
  5. y có thể nhận giá trị −2.

Câu hỏi 10

Ba giáo viên $A,B,C$ làm việc ở ba trường khác nhau $X,Y,Z$ và dạy ba môn khác nhau: Toán, tiếng Latinh và Âm nhạc. Biết rằng:
(i) $A$ không dạy Toán và $B$ không làm ở $Z$;
(ii) giáo viên ở $Z$ dạy Âm nhạc;
(iii) giáo viên ở $X$ không dạy tiếng Latinh;
(iv) $B$ không dạy Toán.
Khẳng định nào đúng?
  1. B làm ở X và C làm ở Y.
  2. A dạy tiếng Latinh và làm ở Z.
  3. B dạy tiếng Latinh và làm ở Y.
  4. A dạy Âm nhạc và C dạy tiếng Latinh.
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 11

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>b$, $2^a+2^b=75$ và $2^{-a}+2^{-b}=12^{-1}$. Tính $2^{a-b}$.

Câu hỏi 12

Tính tổng mọi số nguyên dương $x$ sao cho $\frac{x^3-x+120}{(x-1)(x+1)}$ là số nguyên.

Câu hỏi 13

Xét phương trình $\sqrt{3x^2-8x+1}+\sqrt{9x^2-24x-8}=3$. Nghiệm lớn nhất bằng $-k$ lần nghiệm nhỏ nhất. Tìm $k$.

Câu hỏi 14

Tìm số có bốn chữ số $\overline{abcd}$ thỏa mãn $2\overline{abcd}+1000=\overline{dcba}$. (Ví dụ, nếu $a=1,b=2,c=3,d=4$, thì $\overline{abcd}=1234$.)

Câu hỏi 15

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2-22x-20y+221=0$. Tính $xy$.

Câu hỏi 16

Cho các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $mn^2+876=4mn+217n$. Tính tổng mọi giá trị có thể của $m$.

Câu hỏi 17

Với số thực $x$, gọi $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Tìm $\lfloor x\rfloor$ ứng với $x$ nhỏ nhất thỏa mãn $\lfloor x^2\rfloor-\lfloor x\rfloor^2=100$.

Câu hỏi 18

Cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_{49}$ thỏa mãn $x_1^2+2x_2^2+\cdots+49x_{49}^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $x_1+2x_2+\cdots+49x_{49}$.

Câu hỏi 19

Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\sqrt{x^2+(20-y)^2}+\sqrt{y^2+(21-z)^2}+\sqrt{z^2+(20-w)^2}+\sqrt{w^2+(21-x)^2}.$$

Câu hỏi 20

Cho số nguyên có bốn chữ số $A$. Tăng chữ số thứ nhất (bên trái) và thứ ba thêm $n$, đồng thời giảm chữ số thứ hai và thứ tư đi $n$. Số mới bằng $nA$. Tìm $A$.