SMO 2026 - Open - Vòng 1

Cho $A=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{r=n}^{2n}r^2}{\sum_{r=1}^{n}r^2}$, tìm $\lfloor A\rfloor$.

(Chú ý: Nếu cho rằng giới hạn là vô hạn, hãy ghi đáp án 9999.)

Tập nghiệm của bất phương trình $|2x^2-3x+2|\lt |x^2-4x+3|$ là $a\lt x\lt b$. Tìm $\lfloor a^2+b^2\rfloor$.

Tìm $\lfloor B\rfloor$, trong đó $B=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\frac{k(2^k)}{(k+1)(k+2)}$.

Biết $\displaystyle\int_0^{1/3}\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\sin^{-1}\frac13+b$. Tìm $\left\lfloor\frac1{b^2}\right\rfloor$.

Với hai vectơ $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ trong không gian Descartes, biết $$|\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}|\ge|\mathbf{a}|$$ với mọi số thực $\lambda$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của tích vô hướng $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$.

(Chú ý: Nếu cho rằng tập giá trị có thể không bị chặn, hãy ghi 9999.)

Giả sử hai phương trình bậc hai $y^2-my-36=0$ và $y^2-6y-m=0$ có nghiệm chung $w$. Tìm $7w^2-w^3$.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=100$. Tìm giá trị lớn nhất của $ab+2ac+3bc$.

Dãy số $\{x_n\}$ thỏa $x_1=1$, $x_{n+1}=2x_n+1$ với $n=1,2,3,\ldots$. Tìm chữ số hàng đơn vị của $2027^{x_{10}+1}$.

Tìm $\lfloor M\rfloor$, trong đó $M=\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt{100}}$.

Cho $f(x)=\frac{9^x}{9^x+3}$. Nếu $$m=f\left(\frac1{2026}\right)+f\left(\frac2{2026}\right)+\cdots+f\left(\frac{2025}{2026}\right),$$ tìm $\lfloor2m\rfloor$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ (nếu tồn tại) sao cho $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\cdot k^2=2026$, trong đó mỗi $a_k$ bằng $1$ hoặc $-1$ với mọi $k=1,2,3,\ldots,n$.

(Chú ý: Nếu cho rằng không tồn tại $n$ như vậy, hãy ghi đáp án 0.)

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $$\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}=2.$$ Nếu $m$ là giá trị lớn nhất của $$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1},$$ tìm $\lfloor m^2\rfloor$.

Cho hai số thực $x,y$ thỏa $x^2+y^2=1$, và $p$ là giá trị nhỏ nhất của $\frac{y-2}{x-1}$. Tìm $\lfloor4p\rfloor$.

Có $n$ cặp học sinh, mỗi cặp gồm một nam và một nữ. Mỗi lượt, Ah Meng chọn $1$ nam và $1$ nữ (không nhất thiết cùng cặp), cho mỗi người một hạt lạc. Một học sinh có thể được chọn nhiều lần. Sau một số lượt chọn $1$ nam, $1$ nữ, Ah Meng thấy rằng trong mỗi cặp, hoặc nam có nhiều hơn nữ $21$ hạt lạc, hoặc nữ có nhiều hơn nam $36$ hạt. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.

Cho hai số nguyên $a,b$ thỏa $a^3+a^2b+4b^3=7087$. Tìm $a^2+b^2$.

Đường tròn $\omega$ tâm $I$ nằm bên trong đường tròn $\Omega$ tâm $O$. $AB$ là một dây của $\Omega$ tiếp xúc với $\omega$. Gọi $C$ là tâm ngoại tiếp tam giác $IAB$. Biết bán kính của $\omega$, $\Omega$ lần lượt bằng $18$, $54$, và $IO=24$. Tìm $OC$.

Cho hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $f(x+y)=f(x)f(y)-4\sin x\sin y$ với mọi $x,y\in\mathbb R$. Xác định giá trị lớn nhất của $f$.

Trong mọi dãy $(x_n)_{n=1}^{2026}$ gồm $2026$ số thỏa $x_1\ge x_2\ge x_3\ge\cdots\ge x_{2026}\ge0$, $x_1+\cdots+x_{2026}\le400$, $x_1^2+\cdots+x_{2026}^2\ge10000$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$.

Tìm số nguyên dương lớn nhất $N$ sao cho tồn tại các số thực $a,b$ thỏa $N|x^2+ax+b|\le2026+x^2$ với mọi $|x|\le1$.

Trong tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$, $CA=12$, $BC=9$, $\angle C=90^\circ$, tiếp tuyến của $\omega$ tại $C$ gặp phần kéo dài của $AB$ tại $D$. Gọi $E$ là trung điểm $CD$. Điểm $F$ nằm trên phần kéo dài của $EB$ sao cho $AF$ song song $CD$. Tìm diện tích tam giác $ABF$.