SMO 2026 - Junior - Vòng 1

Cho hằng số $m$. Nếu $x+3$ là một nhân tử của $x^2-2x+m$, biểu thức nào sau đây cũng là nhân tử của $x^2-2x+m$?

Trong hình dưới, năm đường tròn được sắp sao cho mỗi đường tròn bên trong tiếp xúc các đường tròn bên trong kề nó và đường tròn lớn nhất. Các đỉnh của tứ giác tô màu là tâm bốn đường tròn bên trong đường tròn lớn nhất. Nếu đường kính đường tròn lớn nhất bằng $x$ cm, diện tích tứ giác tô màu theo $x$ bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$?

Cho các số thực khác không $x,y$ thỏa $|x|-y=4$ và $|x|y-x^3=0$. Tìm $x-y$.

Cho $a=\sqrt{102}+\sqrt{98}$, $b=\sqrt{101}+\sqrt{99}$ và $c=20$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm tích hai nghiệm thực của phương trình $$(x+6)^2=2\sqrt{x^2+12x+37}+7.$$

Xe $A$ rời làng $X$ đi làng $Y$ cùng lúc xe $B$ rời làng $Y$ đi làng $X$. Hai xe chạy với vận tốc không đổi. Sau $5$ giờ chúng gặp nhau. Thêm $3$ giờ nữa, xe $A$ tới làng $Y$ còn xe $B$ vẫn cách làng $X$ $90$ km. Tìm khoảng cách hai làng theo km.

Cho bốn số nguyên $a,b,c,d$. Tạo bốn số mới bằng cách cộng vào mỗi số trung bình cộng của ba số còn lại. Nghĩa là cộng vào $a$ trung bình của $b,c,d$; cộng vào $b$ trung bình của $a,c,d$; và tương tự. Nếu bốn số mới là $28,37,46,57$, hãy tìm trung bình cộng của $a,b,c,d$.

Bảng $3\times3$ dưới đây có ba ô ghi ba số nguyên dương $1,221,m$. Tìm $m$ để có thể điền sáu ô còn lại bằng sáu số nguyên dương đôi một khác nhau và khác $1,221,m$, sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.

Cho $y=|x+1|+|x-2|+|x-4|$, với $x$ thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $y$.

Tính $\left(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\right)^4+\left(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\right)^4$.

Trong hình dưới, tam giác $ABC$ có $AB=13$, $BC=5$, $AC=12$. Các điểm $D,E$ lần lượt nằm trên $AB,AC$ sao cho $DE$ chia tam giác $ABC$ thành hai miền có diện tích bằng nhau. Nếu độ dài nhỏ nhất của $DE$ là $m$, tìm $m^2$.

Nếu $a=-7+\sqrt5$, hãy tính $(a+3)(a+4)(a+10)(a+11)$.

Trong hình dưới, $BF$ là phân giác $\angle ABC$, $DF$ là phân giác $\angle ADC$. Nếu $\angle A=36^\circ$, $\angle C=58^\circ$, $\angle F=x^\circ$, hãy tìm $x$.

Cho $x,y$ thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$\sqrt{x^2+y^2-2x-4y+5}+\sqrt{x^2+y^2+4x+4y+8}.$$

Tìm tổng mọi số nguyên ba chữ số $\overline{abc}$ sao cho số sáu chữ số $\overline{123abc}$ chia hết cho cả bốn số $2,3,5,7$.

Tìm số cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa phương trình $x^2+3xy+2y^2=2026$.

Hình dưới gồm hai hình chữ nhật bằng nhau $ABCD,AEFG$ chồng lên nhau. Nếu $AB=8$, $HD=4$, $HF=2$, tìm tổng diện tích các miền không tô màu của hai hình chữ nhật.

Cho $a,b$ là số thực dương thỏa $\frac1a+\frac1b=\frac1{a-b}$. Tìm $\left\lceil\frac ba\right\rceil$. Kí hiệu $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$. Ví dụ $\lceil3.1\rceil=4$.

Cho $x$ là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $4x+\frac9x$.

Với mọi số thực $x$, đặt $f(x)=\min\{4x+1,x+2,5-2x\}$. Ví dụ $f(2)=\min\{9,4,1\}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$.