SMO 2023 - Junior - Vòng 1

Trong một công ty, một phần ba nhân viên có bằng đại học. Một nửa số nhân viên có bằng đại học là nam, và 40% số nhân viên không có bằng đại học là nữ. Nếu có 102 nhân viên nam, công ty có bao nhiêu nhân viên nữ?

Có bao nhiêu tam giác đôi một không bằng nhau có các cạnh nguyên và chu vi bằng 7?

Trung vị và trung bình cộng của năm số phân biệt $4,7,10,11,N$ bằng nhau. Tìm tổng mọi giá trị có thể của $N$.

Hình sau gồm hai nửa đường tròn có đường kính nằm trên cùng một đường thẳng. $AB$ là dây của nửa đường tròn lớn, tiếp xúc với nửa đường tròn nhỏ tại $C$ và song song với đường kính $DE$ của nửa đường tròn lớn. Nếu $|AB|=16$ cm, diện tích miền tô màu bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Đồ thị (không vẽ theo tỉ lệ) của $y=ax^2+bx+c$ có điểm cực đại tại $x=-1$ được cho dưới đây. Khẳng định nào sau đây nhất thiết đúng?



(I) $a-b+c\gt 0$; (II) $a+b-c\gt 0$; (III) $abc\gt 0$; (IV) $abc\lt 0$.

Tích số tuổi của ba người trưởng thành bằng 26390. Tìm tổng số tuổi của họ. (Một người được coi là trưởng thành nếu ít nhất 21 tuổi.)

Cho số nguyên dương $n$ sao cho $n+11$ là ước của $n^2+121$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$.

Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $(3+\sqrt5)^3$.

Tích của số có hai chữ số $\overline{x4}$ và số có ba chữ số $\overline{3yz}$ bằng $7656$. Tìm $x+y+z$.

Cho các số thực $x,y$ thỏa $x+y=12$, $xy=10$. Tính $x^4+y^4$.

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa $a^2+4b^2\le1105$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $ab$.

Tìm số nguyên $n$ sao cho
$$\frac{\sqrt5+n\sqrt3-2\sqrt2}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt3-\sqrt2)}=\sqrt5+\sqrt2.$$

Các cạnh của một tam giác có độ dài $\log_{10}12$, $\log_{10}75$, $\log_{10}n$, với $n$ nguyên dương. Tìm số giá trị có thể của $n$.

Cho $x$ thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{20x^2+10x+3}{2x^2+x+1}.$$

Trong hình sau, $ABCD$ là hình vuông cạnh $16$ cm. Điểm $E$ nằm trên $CD$ sao cho $|DE|=4$ cm. Các điểm $M,N$ lần lượt nằm trên $AD,BC$ sao cho $MN$ vuông góc $BE$. Điểm $X$ là giao của $MN,BE$. Biết $|MX|=11$ cm và $|BN|=x$ cm, tìm $x$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho mọi tập con gồm đúng $k$ số của $\{1,2,\ldots,2023\}$ đều chứa ba số nguyên $a,b,c$ thỏa $a\lt b\lt c$ và $ab=c$.

Hiệu giữa bội chung nhỏ nhất (BCNN) và ước chung lớn nhất (ƯCLN) của số nguyên dương $n$ và $18$ bằng $627$. Tìm $n$.

Tổng mọi góc trong trừ một góc của một đa giác lồi bằng $2023^\circ$. Đa giác có bao nhiêu cạnh? (Đa giác là lồi nếu mỗi góc trong nằm giữa $0^\circ$ và $180^\circ$.)

Nếu $\sqrt{19-8\sqrt3}$ là một nghiệm của phương trình $x^2-ax+b=0$, trong đó $a,b$ hữu tỉ, hãy tìm $a+b$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho phương trình $x^2+y^3=n^4$ có nghiệm nguyên dương $x,y$.