Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

Ngân hàng câu hỏi SMO 2009

Đề thi

110 câu hỏi

Câu hỏi 1

Cho hai đường tròn phân biệt $C_1,C_2$ cùng bán kính $7$ cm, nằm trong một mặt phẳng và tiếp xúc nhau. Có bao nhiêu đường tròn bán kính $26$ cm trong mặt phẳng ấy tiếp xúc với cả $C_1,C_2$?
  1. $2$
  2. $4$
  3. $6$
  4. $8$
  5. Không phương án nào ở trên.

Câu hỏi 2

Trong hình, hình quạt một phần tư đường tròn $OAD$ có bán kính $4$, còn $OBC$ có bán kính $8$. Biết $\angle COD=30^\circ$, tìm diện tích phần tô $ABCD$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $12\pi$
  2. $13\pi$
  3. $15\pi$
  4. $16\pi$
  5. Không phương án nào ở trên.

Câu hỏi 3

Cho $k$ là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ để bất đẳng thức sau đúng: $$\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}\ge k.$$
  1. $\sqrt5$
  2. $3$
  3. $\sqrt2+\sqrt3$
  4. $\sqrt{10}$
  5. $2\sqrt3$

Câu hỏi 4

Ba đường tròn bán kính $20$ được xếp thành hàng với các tâm tương ứng $A,B,C$ như hình. Nếu đường thẳng $WZ$ tiếp xúc với đường tròn thứ ba, tìm độ dài $XY$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $30$
  2. $32$
  3. $34$
  4. $36$
  5. $38$

Câu hỏi 5

Cho các số nguyên âm $x,y$ thỏa mãn $y=\dfrac{10x}{10-x}$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.
  1. $-10$
  2. $-9$
  3. $-6$
  4. $-5$
  5. Không phương án nào ở trên.

Câu hỏi 6

Dãy số thỏa mãn $a_n=a_{n-1}+n^2$ và $a_0=2009$. Tìm $a_{50}$.
  1. $42434$
  2. $42925$
  3. $44934$
  4. $45029$
  5. $45359$

Câu hỏi 7

Các đồng xu cùng kích thước được xếp trên một mặt bàn rất lớn (mặt phẳng vô hạn) sao cho mỗi đồng xu tiếp xúc sáu đồng xu khác. Tìm phần trăm diện tích mặt phẳng được các đồng xu che phủ.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $\frac{20\pi}{\sqrt3}\%$
  2. $\frac{50\pi}{\sqrt3}\%$
  3. $16\sqrt3\pi\%$
  4. $17\sqrt3\pi\%$
  5. $18\sqrt3\pi\%$

Câu hỏi 8

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+xy+y=2+3\sqrt2$ và $x^2+y^2=6$. Tính $|x+y+1|$.
  1. $1+\sqrt3$
  2. $2-\sqrt3$
  3. $2+\sqrt3$
  4. $3-\sqrt2$
  5. $3+\sqrt2$

Câu hỏi 9

Cho $y=(x-16)(x-14)(x+14)(x+16)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $y$.
  1. $-896$
  2. $-897$
  3. $-898$
  4. $-899$
  5. $-900$

Câu hỏi 10

Có bao nhiêu bộ số nguyên dương $(a,b,c,d)$ thỏa mãn $\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d=1$ và $a\lt b\lt c\lt d$?
  1. $6$
  2. $7$
  3. $8$
  4. $9$
  5. $10$

Câu hỏi 11

Có hai mẫu tivi LCD được bán: mẫu tiêu chuẩn “20 inch” và mẫu màn hình rộng “20 inch”. Tỉ số chiều dài với chiều cao màn hình lần lượt là $4:3$ và $16:9$. Kích thước màn hình được đo theo đường chéo, nên cả hai có đường chéo $20$ inch. Nếu tỉ số diện tích màn hình tiêu chuẩn với màn hình rộng là $A:300$, hãy tìm $A$.

Câu hỏi 12

Hình vẽ gồm ngũ giác (hai miền $A,B$) và hình chữ nhật (hai miền $B,C$) chồng lên nhau. Miền chung $B$ bằng $3/16$ diện tích ngũ giác và $2/9$ diện tích hình chữ nhật. Nếu tỉ số diện tích miền $A$ với miền $C$ là $m/n$ tối giản, tìm $m+n$.

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 13

Có 2009 học sinh làm bài kiểm tra gồm mười câu đúng–sai. Cần ít nhất bao nhiêu bài làm để bảo đảm có hai bài giống nhau ở ít nhất chín câu trả lời?

Câu hỏi 14

Số cách xếp $5$ nam và $6$ nữ thành một hàng, cho phép các bạn nữ đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nam đứng cạnh nhau, là $6!\,k$. Tìm $k$.

Câu hỏi 15

Tam giác $ABC$ có $\angle BAC=90^\circ$. Dựng các hình vuông trên $AB,BC$ như hình. Diện tích hình vuông $ABDE$ là $8\text{ cm}^2$, hình vuông $BCFG$ là $26\text{ cm}^2$. Tìm diện tích tam giác $DBG$ theo xentimét vuông.

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 16

Tổng $\dfrac1{2\cdot3\cdot4}+\dfrac1{3\cdot4\cdot5}+\dfrac1{4\cdot5\cdot6}+\cdots+\dfrac1{13\cdot14\cdot15}+\dfrac1{14\cdot15\cdot16}$ bằng phân số tối giản $m/n$. Tính $m+n$.

Câu hỏi 17

Cho $a+\dfrac1{a+1}=b+\dfrac1{b-1}-2$ và $a-b+2\ne0$. Tính $ab-a+b$.

Câu hỏi 18

Nếu $|x|+x+5y=2$ và $|y|-y+x=7$, tính $x+y+2009$.

Câu hỏi 19

Gọi $p,q$ là hai số nguyên tố liên tiếp. Với một số nguyên cố định $n$, tập $\{n-1,3n-19,38-5n,7n-45\}$ biểu diễn $\{p,2p,q,2q\}$, không nhất thiết theo thứ tự ấy. Tìm $n$.

Câu hỏi 20

Tìm số cặp số nguyên dương có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn

$$x\sqrt y+y\sqrt x+\sqrt{2009xy}-\sqrt{2009x}-\sqrt{2009y}-2009=0.$$