Ngân hàng câu hỏi SMO 2023

Trong tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$; $M$ và $N$ lần lượt thuộc các đoạn $OA$ và $OD$. Giả sử $MN$ song song với $AD$ và $NC$ song song với $AB$. Chứng minh rằng $\angle ABM=\angle NCD$.

Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số nguyên trong $1,2,\ldots,99$ để xếp chúng trên một vòng tròn sao cho tích của mỗi cặp số đứng cạnh nhau là một số nguyên có ba chữ số?

Một quân đô-mi-nô là một hình chữ nhật $1\times2$. Một lưới vuông $2023\times2023$ được lát bằng các quân đô-mi-nô không chồng lên nhau, chỉ để lại một ô trống $1\times1$. John liên tiếp trượt các quân đô-mi-nô vào ô trống; mỗi quân được di chuyển nhiều nhất một lần. John có thể di chuyển quân đô-mi-nô nhiều nhất bao nhiêu lần?

(Ví dụ: Trong lưới $3\times3$ dưới đây, John có thể di chuyển $2$ quân: quân $D$, rồi đến quân $A$.)

Hai số nguyên tố có hai chữ số khác nhau $p,q$ có thể được viết nối tiếp nhau theo hai thứ tự để tạo ra hai số có bốn chữ số. Ví dụ, 11 và 13 tạo ra 1113 và 1311. Nếu cả hai số có bốn chữ số đều chia hết cho trung bình cộng của $p$ và $q$, hãy tìm tất cả các cặp $(p,q)$ có thể có.

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a^2+4=(k^2-4)b^2$.

Cho tam giác không cân $ABC$ có trọng tâm $G$ và đường tròn ngoại tiếp $\omega$ tâm $O$. Đường thẳng $AG$ kéo dài gặp $\omega$ tại $M$; các đường thẳng $AB$ và $CM$ cắt nhau tại $P$, còn $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $Q$. Giả sử tâm ngoại tiếp $S$ của tam giác $APQ$ nằm trên $\omega$ và $A,O,S$ thẳng hàng. Chứng minh rằng $\angle AGO=90^\circ$.

Một lưới ô được lát bằng các quân đô-mi-nô sao cho mỗi ô được phủ bởi đúng một quân. Chọn một tập con $S$ các quân đô-mi-nô. Có đúng rằng ít nhất một trong hai phát biểu sau là sai không?

(1) Trong $S$, số quân nằm ngang nhiều hơn số quân thẳng đứng $2022$ quân.

(2) Các ô được phủ bởi các quân trong $S$ có thể được lát kín, không chồng lấn, bằng các tetromino dưới đây (cho phép quay và đối xứng):

Cho số nguyên dương $n\ge2$. Với mỗi số nguyên $a$, gọi $Q_a(x)$ là đa thức $x^n+ax$. Cho $p$ là số nguyên tố và $S_a$ là tập
$$S_a=\{b\mid0\le b\le p-1,\ \exists c\in\mathbb Z,\ Q_a(c)\equiv b\pmod p\}.$$
Chứng minh rằng biểu thức $\dfrac1{p-1}\sum_{a=1}^{p-1}|S_a|$ là một số nguyên.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ sao cho
$$f(x+y)\bigl((f(x)-f(y))^2+f(xy)\bigr)=f(x^3)+f(y^3).$$

Xác định tất cả các số thực $x$ nằm giữa $0$ và $180$ sao cho có thể chia một tam giác đều thành hữu hạn tam giác, mỗi tam giác có một góc bằng $x^\circ$.

Cho hình vuông $ABCD$, điểm $E$ nằm trên cạnh $DC$; $F$ và $G$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $AE$ và từ $A$ đến $BE$. Giả sử $DF$ và $CG$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng $\angle AHB=90^\circ$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a^2+4=(k^2-4)b^2$.

Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ hòn đảo được nối bằng $n-1$ cây cầu sao cho đi được từ bất kỳ đảo nào đến đảo khác. Một buổi chiều, lửa bùng lên ở một đảo. Mỗi buổi sáng, lửa lan đến tất cả các đảo lân cận. (Hai đảo là lân cận nếu được nối bằng một cây cầu.) Để khống chế lửa, mỗi đêm người ta phá một cây cầu cho đến khi hôm sau lửa không còn nơi nào để lan tới. Gọi $X$ là số cầu ít nhất phải phá trước khi lửa ngừng lan. Tìm giá trị lớn nhất của $X$ trên mọi cấu hình cầu, đảo và mọi vị trí lửa bắt đầu.

Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $n!+2^{n-1}=2^m$.

Tô lưới vuông $20000\times20000$ bằng $2000$ màu khác nhau, mỗi ô đúng một màu. Hai ô là lân cận nếu có chung một đỉnh. Một đường đi là một dãy ô sao cho hai ô liên tiếp là lân cận. Đánh dấu $k$ ô. Với mỗi ô chưa đánh dấu $x$, có đúng một ô đã đánh dấu $y$ cùng màu sao cho $x$ và $y$ được nối bằng đường đi chỉ gồm các ô cùng màu. Với bất kỳ hai ô đã đánh dấu cùng màu nào, mọi đường đi nối chúng phải đi qua các ô mang đủ tất cả các màu. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.

Trong một công ty, một phần ba nhân viên có bằng đại học. Một nửa số nhân viên có bằng đại học là nam, và 40% số nhân viên không có bằng đại học là nữ. Nếu có 102 nhân viên nam, công ty có bao nhiêu nhân viên nữ?

Có bao nhiêu tam giác đôi một không bằng nhau có các cạnh nguyên và chu vi bằng 7?

Trung vị và trung bình cộng của năm số phân biệt $4,7,10,11,N$ bằng nhau. Tìm tổng mọi giá trị có thể của $N$.

Hình sau gồm hai nửa đường tròn có đường kính nằm trên cùng một đường thẳng. $AB$ là dây của nửa đường tròn lớn, tiếp xúc với nửa đường tròn nhỏ tại $C$ và song song với đường kính $DE$ của nửa đường tròn lớn. Nếu $|AB|=16$ cm, diện tích miền tô màu bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Đồ thị (không vẽ theo tỉ lệ) của $y=ax^2+bx+c$ có điểm cực đại tại $x=-1$ được cho dưới đây. Khẳng định nào sau đây nhất thiết đúng?



(I) $a-b+c\gt 0$; (II) $a+b-c\gt 0$; (III) $abc\gt 0$; (IV) $abc\lt 0$.