Câu hỏi 1
Trong năm số thực dưới đây, số nào nhỏ nhất?
Ngân hàng câu hỏi SMO 2010
Đề thi
110 câu hỏi
Câu hỏi 2
Trong năm số nguyên dưới đây, số nào lớn nhất?
Câu hỏi 3
Trong bốn mệnh đề về số thực dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
1. Nếu $a\lt b$, $a,b\ne0$ thì $1/b\lt 1/a$.
2. Nếu $a\lt b$ thì $ac\lt bc$.
3. Nếu $a\lt b$ thì $a+c\lt b+c$.
4. Nếu $a^2\lt b^2$ thì $a\lt b$.
1. Nếu $a\lt b$, $a,b\ne0$ thì $1/b\lt 1/a$.
2. Nếu $a\lt b$ thì $ac\lt bc$.
3. Nếu $a\lt b$ thì $a+c\lt b+c$.
4. Nếu $a^2\lt b^2$ thì $a\lt b$.
Câu hỏi 4
Số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt[3]{2010^3+3\times2010^2+4\times2010+1}$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 5
Đường từ thị trấn $A$ đến thị trấn $B$ gồm đoạn lên dốc, nằm ngang, xuống dốc; tổng độ dài của mỗi loại bằng nhau. Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ với vận tốc đều lần lượt $8$ km/h, $12$ km/h, $24$ km/h trên đường lên dốc, nằm ngang, xuống dốc. Vận tốc trung bình của cả hành trình là bao nhiêu?
Câu hỏi 6
Trong hình, $ABC$, $CDE$ là hai tam giác đều. Biết $\angle EBD=62^\circ$, $\angle AEB=x^\circ$, tìm $x$.
Câu hỏi 7
Một thợ mộc muốn cắt khối lập phương gỗ $3\times3\times3$ thành hai mươi bảy khối lập phương $1\times1\times1$. Có thể làm dễ dàng bằng $6$ nhát cắt, giữ các mảnh nguyên vị trí thành khối như hình.
Nếu được sắp xếp lại các mảnh sau mỗi nhát cắt, cần ít nhất bao nhiêu nhát?
Nếu được sắp xếp lại các mảnh sau mỗi nhát cắt, cần ít nhất bao nhiêu nhát?
Câu hỏi 8
Chữ số tận cùng của $7^{7^7}$ là gì?
Câu hỏi 9
Biết $n$ là số nguyên lẻ nhỏ hơn $1000$ và tích tất cả các chữ số của nó bằng $252$. Có bao nhiêu số nguyên như vậy?
Câu hỏi 10
Giá trị của $(\sqrt{11}+\sqrt5)^8+(\sqrt{11}-\sqrt5)^8$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 11
Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn
$$y=\sqrt{\frac{2008x+2009}{2010x-2011}}+\sqrt{\frac{2008x+2009}{2011-2010x}}+2010.$$
Tìm $y$.
$$y=\sqrt{\frac{2008x+2009}{2010x-2011}}+\sqrt{\frac{2008x+2009}{2011-2010x}}+2010.$$
Tìm $y$.
Câu hỏi 12
Với các số nguyên $a_1,\ldots,a_n\in\{1,2,3,\ldots,9\}$, kí hiệu $\overline{a_1a_2\cdots a_n}$ chỉ số $10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+\cdots+10a_{n-1}+a_n$. Ví dụ, khi $a=2,b=0$, $\overline{ab}$ chỉ số $20$. Cho $\overline{ab}=b^2$, $\overline{acbc}=(\overline{ba})^2$, tìm $\overline{abc}$.
Câu hỏi 13
Biết $m-2$ là số nguyên dương và là ước của $3m^2-2m+10$. Tìm tổng tất cả giá trị $m$ như vậy.
Câu hỏi 14
Trong tam giác $ABC$, $AB=32$ cm, $AC=36$ cm, $BC=44$ cm. Nếu $M$ là trung điểm $BC$, tính $AM$ theo cm.
Câu hỏi 15
Tính $\dfrac{678+690+702+714+\cdots+1998+2010}{3+9+15+21+\cdots+327+333}$.
Câu hỏi 16
Esther và Frida điền các số từ $1$ đến $160$ vào bảng chữ nhật gồm $16$ cột, $10$ hàng. Esther điền theo hàng: hàng đầu $1,2,\ldots,16$, hàng hai $17,18,\ldots,32$, cứ thế tiếp tục. Frida điền theo cột: cột đầu $1,2,\ldots,10$, cột hai $11,12,\ldots,20$, cứ thế tiếp tục. Một số số nằm cùng vị trí trong hai bảng. Tìm tổng các số ở những vị trí ấy.
Câu hỏi 17
Tổng hai số nguyên $A,B$ bằng $2010$. Nếu bội chung nhỏ nhất của chúng là $14807$, hãy viết số lớn hơn.
Câu hỏi 18
Dãy đa thức $a_n(x)$ được xác định bằng truy hồi
$$a_0(x)=1,\qquad a_1(x)=x^2+x+1,$$
$$a_n(x)=(x^n+1)a_{n-1}(x)-a_{n-2}(x)\quad(n\ge2).$$
Ví dụ,
$$a_2(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)-1=x^4+x^3+2x^2+x,$$
$$a_3(x)=(x^3+1)(x^4+x^3+2x^2+x)-(x^2+x+1)$$
$$=x^7+x^6+2x^5+2x^4+x^3+x^2-1.$$
Tính $a_{2010}(1)$.
$$a_0(x)=1,\qquad a_1(x)=x^2+x+1,$$
$$a_n(x)=(x^n+1)a_{n-1}(x)-a_{n-2}(x)\quad(n\ge2).$$
Ví dụ,
$$a_2(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)-1=x^4+x^3+2x^2+x,$$
$$a_3(x)=(x^3+1)(x^4+x^3+2x^2+x)-(x^2+x+1)$$
$$=x^7+x^6+2x^5+2x^4+x^3+x^2-1.$$
Tính $a_{2010}(1)$.
Câu hỏi 19
Tam giác $ABC$ nội tiếp nửa đường tròn bán kính $5$. Nếu $AB=10$, tìm giá trị lớn nhất của $s^2$, với $s=AC+BC$.
Câu hỏi 20
Tìm hai chữ số tận cùng của $2011^{2010^{2009}}$.