Hai hình thoi $ABCD$ và $AXYZ$ nằm ngoài nhau và có chung đỉnh $A$. Các đỉnh của mỗi hình thoi được ghi theo chiều kim đồng hồ. Nếu $\angle DAX=\angle BAZ$, chứng minh rằng tâm của hai hình thoi và trung điểm của đoạn $BZ$ tạo thành một tam giác cân.
Tìm tất cả các số nguyên $n$ có 6 chữ số sao cho $n$ là số chính phương và số tạo bởi 3 chữ số cuối của $n$ lớn hơn số tạo bởi 3 chữ số đầu của $n$ đúng 1 đơn vị.
Jack và Jill chơi trò chơi sau: Jack gieo 3 con xúc xắc; Jill được chọn một số con, có thể không chọn con nào, rồi lật mỗi con được chọn sang mặt đối diện. Jill thắng nếu tổng các số trên xúc xắc là bội của 4. Jill có luôn thắng được không? (Trò chơi dùng xúc xắc tiêu chuẩn, trên đó tổng hai số ở hai mặt đối diện bằng 7.)
Gọi $A,B,C,D$ là 4 ô vuông ở chính giữa một lưới ô vuông $4\times4$. Bốn ô này tạo thành vùng trung tâm của lưới. Một con ếch có thể nhảy từ một trong 4 ô trung tâm sang bất kỳ ô nào trong lưới có chung cạnh với ô đó. Nếu lần đầu tiên con ếch nhảy ra khỏi vùng trung tâm là từ một ô nhất định, ô ấy được gọi là ô thoát. Tìm số cách để con ếch xuất phát từ $A$ và có ô thoát là $A$ sau $n$ lần nhảy. Biểu diễn đáp án theo $n$.
Cho $ABCD$ là tứ giác lồi và $M$ là giao điểm hai đường chéo. Qua $M$ kẻ một đường thẳng cắt cạnh $AB$ tại $P$ và cạnh $CD$ tại $Q$. Tìm tất cả các tứ giác sao cho tồn tại đoạn $PQ$ chia hai tam giác $ABM$ và $CDM$ thành 4 tam giác đồng dạng.
Cho $ABCD$ là tứ giác lồi và $M$ là giao điểm hai đường chéo của nó. Qua $M$ kẻ một đường thẳng cắt cạnh $AB$ tại $P$ và cạnh $CD$ tại $Q$. Tìm tất cả các tứ giác sao cho tồn tại đoạn $PQ$ chia hai tam giác $ABM$ và $CDM$ thành 4 tam giác đồng dạng.
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của $\triangle ABC$ và $\omega$ là đường tròn nội tiếp. Gọi $D$ là giao điểm của $\omega$ với $BC$. Giả sử $X,Y$ thuộc $\omega$ sao cho các đường thẳng $IX,IY$ và $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\triangle AXY$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ đi qua trung điểm của $BC$.
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+$, trong đó $\mathbb Z^+$ là tập các số nguyên dương, sao cho với mọi số nguyên dương $m,n$,
$$f^{f(m)}(n)+n=f^m(n)+f(n).$$
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số dương và $A$ là trung bình cộng của chúng. Chứng minh rằng
$$A^{n-1}\ge\frac1n\sum_{i=1}^n a_1\cdots\widehat{a_i}\cdots a_n,$$
trong đó $\widehat{a_i}$ nghĩa là bỏ thừa số $a_i$.
Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho có thể chọn 8 đỉnh của một đa giác đều $m$ cạnh mà không có ba đỉnh nào trong số đã chọn tạo thành một tam giác cân.
Hình dưới biểu diễn sáu điểm $A,B,C,M,N$ và $O$ trên trục số thực. $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, $N$ là trung điểm của đoạn $BC$ và $O$ là trung điểm của đoạn $AC$.
Một con xúc xắc cân đối có các số 1, 2, 3, 4, 5 và 6 trên sáu mặt được gieo hai lần. Số xuất hiện trong lần thứ nhất và thứ hai lần lượt là $a$ và $b$. Xác suất để phương trình $x^2+ax+b=0$ có hai nghiệm thực phân biệt là bao nhiêu?
Trong hình dưới, $ABCD$ là hình chữ nhật. $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$, và $AF$, $CE$ là các đoạn thẳng. Nếu diện tích hình chữ nhật là 24 $cm^2$, hãy tìm diện tích phần tô đậm theo $cm^2$.
Trong một đợt gây quỹ của trường, 11 bạn nữ và $b$ bạn nam của lớp 2A quyên góp được tổng số tiền bằng lớp 2B có 9 bạn nam và $g$ bạn nữ, với $b>0$, $g>0$. Tổng số tiền mỗi lớp quyên góp là $\$(bg+9b+11g+145)$. Biết số tiền trung bình do mỗi lớp trong hai lớp quyên góp là $\$x$, và $x$ là số nguyên lớn hơn 30, hãy tìm $x$.
