Ngân hàng câu hỏi SMO 2015

Đề thi

110 câu hỏi

Câu hỏi 1

Tính chính xác $\dfrac{\sqrt{50}+7}{\sqrt{50}-7}+\dfrac{\sqrt{50}-7}{\sqrt{50}+7}$.

Câu hỏi 2

Rút gọn $\dfrac{3^x+63}{21^{x-2}+7^{x-1}}$.

$\frac3{7^x}$
$\frac{9\times49}{7^x}$
$\frac9{7^x}$
$\frac{9\times7}{7^x}$
$\frac{3\times7}{7^x}$

Câu hỏi 3

Cho các số thực $m,n$ sao cho hai nghiệm của $2x^2-mx+8=0$ là $\alpha,\beta$, còn hai nghiệm của $5x^2-10x+5n=0$ là $\dfrac1\alpha,\dfrac1\beta$. Tìm $mn$.

$\frac14$
4
8
12
16

Câu hỏi 4

Tìm số lớn nhất trong các số sau:

$\sqrt8+\sqrt8$
$\sqrt7+\sqrt9$
$\sqrt6+\sqrt{10}$
$\sqrt5+\sqrt{11}$
$\sqrt4+\sqrt{12}$

Câu hỏi 5

Mệnh đề nào sau đây đúng?

$\cos221^\circ\gt \sin319^\circ$
$\cos139^\circ\gt \sin221^\circ$
$\sin139^\circ\gt \cos41^\circ$
$\sin221^\circ\gt \cos139^\circ$
$\sin41^\circ\gt \cos319^\circ$

Câu hỏi 6

Tìm số nhỏ nhất trong các số sau:

$\log_{2015}2016$
$\log_{2016}2017$
$\log_{2017}2018$
$\log_{2018}2019$
$\log_{2019}2020$

Câu hỏi 7

Nếu $x,y$ là các số khác 0 và $x\gt y$, mệnh đề nào sau đây luôn đúng?

$\frac1x\lt \frac1y$
$\frac xy\gt 1$
$|x|\gt |y|$
$\frac1{xy^2}\gt \frac1{x^2y}$
$\frac xy\gt \frac yx$

Câu hỏi 8

Cho $f(x)=2|x^2-1|-x-1$ với $0\le x\le\dfrac32$. Tìm tập giá trị của $f(x)$.

$-3\le f(x)\le1$
$-3\le f(x)\le\frac32$
$-2\le f(x)\le1$
$-2\le f(x)\le\frac32$
$-2\le f(x)\le2$

Câu hỏi 9

Có bao nhiêu số nguyên tố $p$ thỏa bất đẳng thức $$\left|2+\log_{3/p}(3p^2)\right|\gt \frac32?$$

Câu hỏi 10

Khi chia đa thức $f(x)$ cho $(x-1)$ và $(x+5)$, số dư lần lượt là −6 và 6. Gọi $r(x)$ là phần dư khi chia $f(x)$ cho $x^2+4x-5$. Tính $r(-2)$.

Câu hỏi 11

Tính $$\frac{2+\log_2 3}{1+\log_2 3}+\frac{3+\log_3 4}{1+\log_3 2}.$$

Câu hỏi 12

Tìm giá trị tuyệt đối của hệ số $\dfrac1x$ trong khai triển $$\left(2x^2-\frac1x\right)^{10}.$$

Câu hỏi 13

Nếu $a+b=\dfrac{25}4$, $(1+\sqrt a)(1+\sqrt b)=\dfrac{15}2$, hãy tính $ab$.

Câu hỏi 14

Tìm $p$ nếu có đúng một giá trị $x$ thỏa phương trình $p^{2x+1}+1=\sqrt{44}\,e^{x\ln p}$.

Câu hỏi 15

Cho các số thực $x,y$ sao cho $x^2,y^2$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của $x^2-xy$ nếu $$(3x^2-y^2)^2+(x^2+y^2)^2=72.$$

Câu hỏi 16

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $x$ (đo bằng độ) sao cho $$\tan(x-160^\circ)=\frac{\cos50^\circ}{1-\sin50^\circ}.$$

Câu hỏi 17

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho $$\frac1{\log_{3^k}2015!}+\frac1{\log_{4^k}2015!}+\cdots+\frac1{\log_{2015^k}2015!}\gt 2015.$$

Câu hỏi 18

Gọi $a\lt b\lt c$ là ba nghiệm thực của $$3x^3-35x^2+500=0.$$ Tính $\dfrac{500^2}{(bc)^2}+\dfrac{500^2}{(ac)^2}+\dfrac{500^2}{(ab)^2}$.

Câu hỏi 19

Hàm $f$ thỏa $f(x)+f(3x)=x^2+1$ với mọi $x$ thực. Nếu $f(2)+f(18)=6$, hãy tìm $f(6)$.

Câu hỏi 20

Cho $n$ số nguyên chẵn dương liên tiếp, nhỏ nhất là $x$, có tổng 154. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x$.