Hai hình thoi $ABCD$ và $AXYZ$ nằm ngoài nhau và có chung đỉnh $A$. Các đỉnh của mỗi hình thoi được ghi theo chiều kim đồng hồ. Nếu $\angle DAX=\angle BAZ$, chứng minh rằng tâm của hai hình thoi và trung điểm của đoạn $BZ$ tạo thành một tam giác cân.
Tìm tất cả các số nguyên $n$ có 6 chữ số sao cho $n$ là số chính phương và số tạo bởi 3 chữ số cuối của $n$ lớn hơn số tạo bởi 3 chữ số đầu của $n$ đúng 1 đơn vị.
Jack và Jill chơi trò chơi sau: Jack gieo 3 con xúc xắc; Jill được chọn một số con, có thể không chọn con nào, rồi lật mỗi con được chọn sang mặt đối diện. Jill thắng nếu tổng các số trên xúc xắc là bội của 4. Jill có luôn thắng được không? (Trò chơi dùng xúc xắc tiêu chuẩn, trên đó tổng hai số ở hai mặt đối diện bằng 7.)
Gọi $A,B,C,D$ là 4 ô vuông ở chính giữa một lưới ô vuông $4\times4$. Bốn ô này tạo thành vùng trung tâm của lưới. Một con ếch có thể nhảy từ một trong 4 ô trung tâm sang bất kỳ ô nào trong lưới có chung cạnh với ô đó. Nếu lần đầu tiên con ếch nhảy ra khỏi vùng trung tâm là từ một ô nhất định, ô ấy được gọi là ô thoát. Tìm số cách để con ếch xuất phát từ $A$ và có ô thoát là $A$ sau $n$ lần nhảy. Biểu diễn đáp án theo $n$.
Cho $ABCD$ là tứ giác lồi và $M$ là giao điểm hai đường chéo. Qua $M$ kẻ một đường thẳng cắt cạnh $AB$ tại $P$ và cạnh $CD$ tại $Q$. Tìm tất cả các tứ giác sao cho tồn tại đoạn $PQ$ chia hai tam giác $ABM$ và $CDM$ thành 4 tam giác đồng dạng.