Ngân hàng câu hỏi SMO 2014

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\gt y\gt 0$ và $z\ne0$. Bất đẳng thức nào dưới đây không phải lúc nào cũng đúng?

Nếu bán kính một hình tròn tăng 100% thì diện tích tăng tương ứng bao nhiêu phần trăm?

Cho $a=\sqrt7$, $b=\sqrt{90}$. Tìm giá trị của $\sqrt{6.3}$.

Tính $\frac1{1-\sqrt[4]5}+\frac1{1+\sqrt[4]5}+\frac2{1+\sqrt5}$.

Andrew, Catherine, Michael, Nick và Sally gọi các món ăn trưa khác nhau, gồm (không theo thứ tự): bánh mì kẹp phô mai, cơm gà, cơm vịt, mì và bít tết. Hãy xác định Catherine ăn gì, biết rằng:

1. Nick ngồi giữa người bạn Sally và người gọi bít tết.
2. Michael không thích mì.
3. Người ăn mì là anh/chị/em họ của Sally.
4. Cả Catherine, Michael và Nick đều không thích cơm.
5. Andrew ăn cơm vịt.

Các lựa chọn trả lời trong đề gốc:

A. Bánh mì kẹp phô mai

B. Cơm gà

C. Cơm vịt

D. Mì

E. Bít tết

Lúc 2 giờ 40 phút chiều, góc giữa kim giờ và kim phút của đồng hồ là $x^\circ$, với $0\lt x\lt 180$. Tìm $x$.

Trong hình dưới đây, mỗi chữ cái khác nhau biểu thị một chữ số khác nhau sao cho phép cộng đúng. Nếu L biểu thị 9 thì T biểu thị chữ số nào?

$$\begin{array}{rrrrrrrr}T&E&R&R&I&B&L&E\\+&&N&U&M&B&E&R\\\hline T&H&I&R&T&E&E&N\end{array}$$

Tô 2 mặt của một hình lập phương bằng màu đỏ, 2 mặt bằng màu xanh lam và 2 mặt bằng màu cam. Hai cách tô được coi là giống nhau nếu có thể quay hình lập phương để biến cách này thành cách kia. Có bao nhiêu cách tô khác nhau?

Trong tam giác $ABC$, $AB=AC$, $\angle BAC=120^\circ$, $D$ là trung điểm của $BC$, và $E$ nằm trên $AB$ sao cho $DE$ vuông góc với $AB$. Tìm tỉ số $AE:BD$.

Có bao nhiêu cách cộng bốn số lẻ dương để được tổng 22?

Hai lần giảm giá liên tiếp 10% và 20% tương đương với một lần giảm $x\%$. Tìm $x$.

Hình dưới đây là hình chiếu từ phía trước của một bình có đáy hình chữ nhật. Nước trong bình cao 6 cm. Nếu lật ngược bình, phần trống cao 2 cm. Biết dung tích bình là 28 cm$^3$, hãy tìm thể tích nước theo cm$^3$.

Gọi $A$ là nghiệm của phương trình $\frac{x-7}{x-8}-\frac{x-8}{x-9}=\frac{x-10}{x-11}-\frac{x-11}{x-12}$. Tìm $6A$.

Tổng hai ước dương nhỏ nhất của số nguyên $N$ bằng 6, còn tổng hai ước dương lớn nhất bằng 1122. Tìm $N$.

Gọi $D$ là giá trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm của phương trình $3x^2-10x-201=0$. Tìm $\lfloor D\rfloor$. (Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)

Cho các số thực dương $m,n$ thỏa mãn $m+4\sqrt{mn}-2\sqrt m-4\sqrt n+4n=3$. Tính $\frac{\sqrt m+2\sqrt n+2014}{4-\sqrt m-2\sqrt n}$.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình thang có $AB\parallel DC$ và $\angle ABC=90^\circ$. Các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên $AB,BC$, sao cho $\angle EFD=90^\circ$. Nếu $CD+DF=BC=4$, hãy tìm chu vi tam giác $BFE$.

Cho các số nguyên tố $p,q,r$ sao cho tích của chúng bằng 19 lần tổng. Tìm $p^2+q^2+r^2$.

John nhận một hộp bi. Sau khi kiểm tra, cậu bỏ ngay 7 viên bị mẻ, rồi cho em trai một phần năm số bi còn lại. Khi gộp phần bi còn lại với 14 viên đã có, John thấy có thể chia thành các nhóm 6 viên và dư đúng 2 viên, hoặc chia thành các nhóm 5 viên mà không dư. Hỏi ban đầu John nhận được ít nhất bao nhiêu viên bi trong hộp?

Cho số có 4 chữ số $N$ sao cho cộng tổng các chữ số của $N$ vào chính nó được 2019. Tìm tổng tất cả các giá trị có thể của $N$.