Trong tam giác $ABC$, $\angle B=90^\circ$, $AB>BC$, và $P$ là điểm sao cho $BP=BC$, $\angle APB=90^\circ$, trong đó $P,C$ nằm cùng phía đối với $AB$. Gọi $Q$ là điểm trên $AB$ sao cho $AP=AQ$, và $M$ là trung điểm của $QC$. Chứng minh đường thẳng qua $M$ song song với $AP$ đi qua trung điểm của $AB$.
Cho $n$ là số nguyên dương cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{x_1^3+\cdots+x_n^3}{x_1+\cdots+x_n},$$
trong đó $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số nguyên dương đôi một phân biệt.
Alice và Bob chơi một trò chơi. Bob bắt đầu bằng cách chọn một tập $S$ gồm $M$ vectơ độ dài $n$ có các thành phần bằng $0$ hoặc $1$. Alice chọn một dãy số $y_1\le y_2\le\cdots\le y_n$ trong đoạn $[0,1]$ và các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb R$. Bob thắng nếu có thể chọn vectơ $(z_1,z_2,\ldots,z_n)\in S$ sao cho
$$\sum_{i=1}^n x_i y_i\le\sum_{i=1}^n x_i z_i,$$
nếu không thì Alice thắng. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$ để Bob có thể bảo đảm thắng.
Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$ sao cho tồn tại một bảng $n\times n$ chứa số nguyên $a_{ik}$ ở hàng thứ $i$, cột thứ $k$, với $1\le i,k\le n$, thỏa mãn: với mọi bộ bốn chỉ số $i,j,k,l$ có $1\le i\lt j\le n$ và $1\le k\lt l\le n$, số $a_{ik}a_{jl}-a_{il}a_{jk}$ không chia hết cho $p$.