Ngân hàng câu hỏi SMO 2020

Nếu $S$ là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $x^2+\dfrac1{x^2}=2020^2+\dfrac1{2020^2}$, hãy tìm $\lfloor S\rfloor$.

Tìm số nguyên dương $x$ lớn nhất thỏa mãn phương trình
$$(\lfloor x\rfloor-2020)^2+(\lceil x\rceil-2030)^2=(\lfloor x\rfloor-\lceil x\rceil+10)^2.$$
(Chú ý: Nếu bạn cho rằng phương trình trên không có nghiệm nguyên dương, hãy ghi đáp án là “0”.)

Cho $S_n=\dfrac1{1\times3}+\dfrac1{3\times5}+\dfrac1{5\times7}+\cdots+\dfrac1{(2n-1)\times(2n+1)}$. Tìm $n$ sao cho $S_n$ bằng $0{,}48$.

Biết ba mặt phẳng trong không gian tọa độ Descartes có phương trình $2x+4y+6z=5$, $3x+5y+2z=6$ và $8x+14y+az=b$ cùng chứa một giao tuyến. Tìm $a+b$.

Gọi $i$ là số phức $\sqrt{-1}$ và $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $(\sqrt3+i)^n=a$, trong đó $a$ là số thực. Tìm $\lfloor n-a\rfloor$.

Trong không gian tọa độ Descartes ba chiều, gọi $\mathbf i$, $\mathbf j$, $\mathbf k$ lần lượt là các vectơ đơn vị theo ba trục $x$, $y$, $z$ đôi một vuông góc. Ba đường thẳng $l_1$, $l_2$, $l_3$ có phương trình
$$\begin{aligned}l_1:\ \mathbf r&=(4+\lambda)\mathbf i+(5+\lambda)\mathbf j+(6+\lambda)\mathbf k,\\l_2:\ \mathbf r&=(4+3\mu)\mathbf i+(5-\mu)\mathbf j+(6-2\mu)\mathbf k,\\l_3:\ \mathbf r&=(1+6\nu)\mathbf i+(2+2\nu)\mathbf j+(3+\nu)\mathbf k,\end{aligned}$$
trong đó $\mu$, $\lambda$, $\nu$ là các số thực. Gọi $S$ là diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng $l_1$, $l_2$, $l_3$. Tìm $10S^2$.

Cho $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(a^2-b^2)=(a-b)(f(a)+f(b))$$
với mọi số thực $a,b$, và $f(1)=\dfrac1{101}$. Tìm $\displaystyle\sum_{k=1}^{100}f(k)$.

Tìm tổng tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ là số chính phương.

(Chú ý: Nếu bạn cho rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện trên, hãy ghi đáp án là “9999”.)

Giả sử
$$(x+2+m)^{2019}=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+\cdots+a_{2019}(x+1)^{2019}.$$
Tìm số nguyên $m$ lớn nhất có thể sao cho
$$(a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2018})^2-(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2019})^2\le2020^{2019}.$$

Cho $S=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt{n(n+k)}}$. Tìm $\left\lfloor(S+2)^2\right\rfloor$.

Cho $A=\{1,2,\ldots,10\}$. Đếm số cặp có thứ tự $(S_1,S_2)$, trong đó $S_1,S_2$ là các tập con khác rỗng, không giao nhau của $A$, sao cho số lớn nhất trong $S_1$ nhỏ hơn số nhỏ nhất trong $S_2$. Ví dụ, nếu $S_1=\{1,4\}$ và $S_2=\{5,6,7\}$ thì $(S_1,S_2)$ là một cặp như vậy.

Mỗi ô của bảng $2020\times2020$ được điền số $1$ hoặc $-1$. Với $i=1,\ldots,2020$, gọi $R_i$ là tích tất cả các số ở hàng thứ $i$ và $C_i$ là tích tất cả các số ở cột thứ $i$. Giả sử $R_i+C_i=0$ với mọi $i=1,\ldots,2020$. Số lượng số $-1$ ít nhất trong bảng là bao nhiêu?

Giả sử dãy $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ là cấp số cộng với $a_2+a_4+a_9=24$. Tìm giá trị lớn nhất của $S_8\times S_{10}$, trong đó $S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k$.

Xét tất cả các hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn

(i) $|g(a)-g(b)|\le|a-b|$ với mọi $a,b\in\mathbb R$;

(ii) $g(g(g(0)))=0$.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của $g(0)$.

Dãy $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ được gọi là dãy tốt nếu $\dfrac{S_{2n}}{S_n}$ là hằng số với mọi $n\ge1$, trong đó $S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k$. Biết dãy $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ là một dãy tốt đồng thời là cấp số cộng. Tìm $a_{2020}$ nếu $a_1=1\ne a_2$.

Tìm số nguyên dương $p$ nhỏ nhất sao cho hệ
$$\begin{cases}6x+4y+3z=0,\\4xy+2yz+pxz=0\end{cases}$$
có nhiều hơn một bộ nghiệm thực $(x,y,z)$.

Cho tam giác $ABC$ với $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Biết $c=100$ và
$$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac ba=\frac43.$$
Điểm $P$ nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Tìm giá trị lớn nhất của $PA^2+PB^2+PC^2$.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất nhỏ hơn $2020$ sao cho $\binom{n-1}{k}-(-1)^k$ chia hết cho $n$ với $k=0,1,\ldots,n-1$.

Giả sử dãy $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ có tính chất: với mọi số nguyên dương đôi một phân biệt $m,n,p,q$ thỏa $m+n=p+q$, luôn có
$$\frac{a_m+a_n}{(a_m+1)(a_n+1)}=\frac{a_p+a_q}{(a_p+1)(a_q+1)}.$$
Biết $a_1=0$ và $a_2=\dfrac12$, hãy xác định $\dfrac1{1-a_5}$.

(Gợi ý: Xét $c_k=\dfrac1{a_k+1}-\dfrac12$ với mọi số nguyên dương $k$.)

Trong tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Kéo dài các đoạn $ED$ và $AB$ để chúng cắt nhau tại $P$ sao cho $AB=BP=PD$. Biết $CA=9$. Tìm $(ABC)^2$, trong đó $(ABC)$ là diện tích tam giác $ABC$.