Ngân hàng câu hỏi SMO 2019

Trong tam giác $ABC$, $AC=BC$, $\angle C=90^\circ$, $D$ là trung điểm của $BC$, $E$ là điểm trên $AB$ sao cho $AD$ vuông góc với $CE$. Chứng minh rằng $AE=2EB$.

Có 315 viên bi được chia thành ba đống gồm 81, 115 và 119 viên. Mỗi lượt, Ah Meng có thể gộp nhiều đống thành một đống hoặc chia một đống có số bi chẵn thành 2 đống bằng nhau. Ah Meng có thể chia số bi thành 315 đống, mỗi đống chỉ có một viên, hay không?

Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ sao cho $\frac{2m-1}{n}$ và $\frac{2n-1}{m}$ đều là số nguyên.

Cho $a>b>0$. Chứng minh rằng $$\sqrt{2}a^3+\frac{3}{ab-b^2}\ge10.$$ Khi nào xảy ra dấu bằng?

Cho $n$ là số nguyên dương và xét một cách xếp $2n$ khối trên một hàng thẳng, trong đó có $n$ khối đỏ, còn lại là khối xanh. Một lần đổi chỗ là chọn hai khối liên tiếp rồi hoán đổi vị trí của chúng. Gọi $A$ là số lần đổi chỗ ít nhất để $n$ khối đầu tiên đều đỏ và $B$ là số lần đổi chỗ ít nhất để $n$ khối đầu tiên đều xanh. Chứng minh $A+B$ không phụ thuộc vào cách xếp ban đầu và tìm giá trị của nó.

Trong tam giác nhọn $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và trực tâm $H$, các điểm $D,E$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$ và từ $B$ xuống $AC$. Cho $P$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ của $\omega$. Các điểm $M,N$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $P$ xuống các đường thẳng $BC,AC$. Gọi $R$ là giao điểm của $PH$ và $MN$. Chứng minh rằng $\angle DMR=\angle MDR$.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ sao cho $f(-f(x)-f(y))=1-x-y$ với mọi $x,y\in\mathbb Z$.

Một rô-bốt được đặt tại điểm $P$ trên trục hoành, khác $(0,0)$ và $(1,0)$, và chỉ có thể di chuyển dọc trục sang trái hoặc sang phải. Hai người chơi trò chơi sau: người chơi $A$ chọn một khoảng cách, người chơi $B$ chọn một hướng, rồi rô-bốt đi đúng khoảng cách theo hướng đó. $A$ muốn đưa rô-bốt đến $(0,0)$ hoặc $(1,0)$, còn $B$ muốn ngăn điều đó. Với những điểm $P$ nào thì $A$ có thể thắng?

Cho $p\equiv2\pmod3$ là số nguyên tố, $k$ là số nguyên dương và $P(x)=3x^{(2p-1)/3}+3x^{(p+1)/3}+x+1$. Với mỗi số nguyên $n$, gọi $R(n)$ là số dư khi chia $n$ cho $p$, và đặt $S=\{0,1,\ldots,p-1\}$. Mỗi bước, có thể (a) thay mọi phần tử $i$ của $S$ bằng $R(P(i))$, hoặc (b) thay mọi phần tử $i$ của $S$ bằng $R(i^k)$. Xác định tất cả $k$ sao cho có một dãy hữu hạn các bước đưa $S$ về $\{0\}$.

Trên bàn cờ $m\times n$ với $m,n\ge2$, đặt một số quân domino không chồng lên nhau, mỗi quân phủ đúng hai ô kề nhau. Chứng minh rằng nếu không thể thêm quân domino nào vào bảng, thì ít nhất $2/3$ bàn cờ đã được các quân domino phủ.

Trong hình bình hành $ABCD$, đường phân giác của $\angle A$ cắt $BC$ tại $M$ và phần kéo dài của $DC$ tại $N$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCN$. Chứng minh rằng $\angle OBC=\angle ODC$.

Cho $n,m$ là các số nguyên dương thỏa mãn $n\ge2m+1$. Có $n$ điểm phân biệt và $nm$ đoạn thẳng phân biệt, mỗi đoạn nối một cặp điểm. Chứng minh tồn tại các điểm phân biệt $A_0,A_1,\ldots,A_m$ sao cho với mỗi $i=0,\ldots,m-1$, có một đoạn thẳng nối $A_i$ với $A_{i+1}$.

Cho $a_1,a_2,\ldots,a_{2000}$ là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $1\le a_1<a_2<\cdots<a_{2000}<4000$ và bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số bất kỳ trong chúng đều $\ge4000$. Chứng minh rằng $a_1\ge1334$.

Cho $m,n,k$ là các số nguyên dương sao cho $m\ge n$ và $1+2+\cdots+n=mk$. Chứng minh rằng có thể chia các số $1,2,\ldots,n$ thành $k$ nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm đều bằng $m$.

Xác định tất cả các số nguyên $n\ge2$ sao cho có thể lập một bảng $n\times n$, mỗi ô là $0$, $1$ hoặc $-1$, mà các tổng phần tử của mọi hàng và mọi cột đều phân biệt.

Trong năm số $2^{30},3^{19},4^{14},6^{12}$ và $9^{10}$, số nào lớn nhất?

Trên một hòn đảo kỳ lạ chỉ có hai loại cư dân: người thật thà luôn nói thật và người nói dối luôn nói sai. Một ngày nọ, bạn gặp hai cư dân như vậy là $A$ và $B$. $A$ nói: “Trong hai chúng tôi có đúng một người thật thà.” $B$ im lặng. Mệnh đề nào sau đây nhất thiết đúng?

Nếu $x-\frac1x=3$, giá trị của $\frac{21}{2}-\frac36x^2+\frac32x$ bằng bao nhiêu?

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $$x^2+y^2+z^2=2(xy+1),\qquad x+y+z=2022.$$ Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $x$, giá trị $x_1+x_2$ bằng bao nhiêu?

Trong tứ giác $ABCD$, hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$. Biết $\angle BAD+\angle ACB=180^\circ$, $|BC|=3$, $|AD|=4$, $|AC|=5$, $|AB|=6$. Tỉ số $\frac{|OD|}{|OB|}$ bằng bao nhiêu?