SMO 2024 - Open - Vòng 1

Cho $S_k=1+2+3+\cdots+k$ với mọi số nguyên dương $k$. Tính $S_1+S_2+S_3+\cdots+S_{20}$.

Cho $S=\displaystyle\sum_{r=1}^{64}r\binom{64}{r}$, trong đó $\binom nr=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ và $0!=1$. Tính $\log_2 S$.

Gọi $x$ là số lớn nhất trong đoạn $[0,2\pi]$ thỏa $(\sin x)^{2024}-(\cos x)^{2024}=1$. Tính $\lfloor x\rfloor$.

(Lưu ý: Nếu cho rằng số $x$ như vậy không tồn tại, hãy nhập đáp án “99999”.)

Tìm số lượng số thực $x$ thỏa phương trình $|x-2|+|x-3|=|2x-5|$.

(Lưu ý: Nếu cho rằng không có số nào như vậy, nhập “0”; nếu cho rằng có vô số số như vậy, nhập “99999”.)

Trong tất cả các số thực thỏa bất đẳng thức $e^x\ge1+2e^{-x}$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\lceil e^x+e^{-x}\rceil$.

Tìm số nguyên dương $C$ nhỏ nhất lớn hơn $2024$ sao cho hai tập $A=\{2x^2+2x+C:x\in\mathbb Z\}$ và $B=\{x^2+2024x+2:x\in\mathbb Z\}$ rời nhau.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$. Phân giác của $\angle BAC$ cắt $\omega$ tại $E$ $(\ne A)$, phân giác của $\angle ABD$ cắt $\omega$ tại $F$ $(\ne B)$, $AE$ cắt $BF$ tại $P$ và $CF$ cắt $DE$ tại $Q$. Biết $EF=20$, $PQ=11$. Tính diện tích tứ giác $PEQF$.

Cho $f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$.

Biết $a\ge0$ thỏa $\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+a}}}}=a$. Tính $(2a-1)^2$.

Một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục ngang và trục đứng được nội tiếp miền giới hạn bởi đồ thị $y=60-x^2$ và trục $x$. Nếu hình chữ nhật lớn nhất như vậy có diện tích $k\sqrt5$, tìm $k$.

Cho số thực $x$ thỏa phương trình $x^{x^5}=100$. Tính $\lfloor x^5\rfloor$.

Cho $a,b,c,d,e$ là các số nguyên phân biệt với $a+b+c+d+e=9$. Nếu số nguyên $m$ thỏa $$(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)(m-e)=2009,$$ hãy xác định $m$.

Gọi $\{x\}$ là phần lẻ của số $x$, tức là $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Nếu $S=\int_0^9\{x\}^2\,dx$, tính $\lfloor S\rfloor$.

Tập nghiệm của bất đẳng thức $|(x+1)(x-6)|\gt |(x+4)(x-2)|$ có thể viết dưới dạng $x\lt a$ hoặc $b\lt x\lt c$. Nếu $S=|a|+|b|+|c|$, tính $\lfloor14S\rfloor$.

Biết $x,y\gt 0$ và $x\sqrt{2-y^2}+y\sqrt{2-x^2}=2$, tìm giá trị của $x^2+y^2$.

Một đa giác lồi có $n$ cạnh sao cho không có ba đường chéo đồng quy. Biết tất cả các đường chéo chia đa giác thành $2500$ miền. Xác định $n$.

Tìm số lượng số nguyên $n$ từ $-2029$ đến $2029$, kể cả hai đầu mút, sao cho $(n+2)^2+n^2$ chia hết cho $2029$.

Cho hàm $f$ sao cho với mọi số thực $x$, ta có $f(x)+2f(2-x)=x+x^2$. Tính $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(34)$.

Tìm số nguyên tố dương $p$ lớn nhất sao cho $p$ chia hết $$S(p)=1^{p-2}+2^{p-2}+3^{p-2}+4^{p-2}+5^{p-2}+6^{p-2}+7^{p-2}+8^{p-2}.$$

Cho hàm $f$ thỏa $f(x)+f\left(\dfrac1{1-x}\right)=1+\dfrac1x$ với mọi $x\notin\{0,1\}$. Tính $\lfloor180\cdot f(10)\rfloor$.