SMO 2023 - Junior - Vòng 2

Trong tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$; $M$ và $N$ lần lượt thuộc các đoạn $OA$ và $OD$. Giả sử $MN$ song song với $AD$ và $NC$ song song với $AB$. Chứng minh rằng $\angle ABM=\angle NCD$.

Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số nguyên trong $1,2,\ldots,99$ để xếp chúng trên một vòng tròn sao cho tích của mỗi cặp số đứng cạnh nhau là một số nguyên có ba chữ số?

Một quân đô-mi-nô là một hình chữ nhật $1\times2$. Một lưới vuông $2023\times2023$ được lát bằng các quân đô-mi-nô không chồng lên nhau, chỉ để lại một ô trống $1\times1$. John liên tiếp trượt các quân đô-mi-nô vào ô trống; mỗi quân được di chuyển nhiều nhất một lần. John có thể di chuyển quân đô-mi-nô nhiều nhất bao nhiêu lần?

(Ví dụ: Trong lưới $3\times3$ dưới đây, John có thể di chuyển $2$ quân: quân $D$, rồi đến quân $A$.)

Hai số nguyên tố có hai chữ số khác nhau $p,q$ có thể được viết nối tiếp nhau theo hai thứ tự để tạo ra hai số có bốn chữ số. Ví dụ, 11 và 13 tạo ra 1113 và 1311. Nếu cả hai số có bốn chữ số đều chia hết cho trung bình cộng của $p$ và $q$, hãy tìm tất cả các cặp $(p,q)$ có thể có.

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a^2+4=(k^2-4)b^2$.